Existenz eines uneigentlichen Integrals über allgemeines f

15.05.2012, 18:03

Yakmiras

Existenz eines uneigentlichen Integrals über allgemeines f

Moin!

Gefragt ist, ob folgende Aussage wahr ist:

Ist $\begin{eqnarray*} f:[0,\infty)\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig und existiert $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |f(x)|dx \end{eqnarray*}$ , so existiert auch $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty(f(x))^2dx \end{eqnarray*}$ .

Es handelt sich hierbei um eine Multiple Choice Aufgabe, ein Beweis ist also nicht gefordert. Dennoch interessiert mich die Antwort, da ich mir unsicher bin.

Ich habe mir überlegt, dass die Existenz von $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty |f(x)|dx \end{eqnarray*}$ impliziert, dass wir zu gegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} b\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} \int_b^\infty |f(x)| dx <\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Für hinreichend großes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ strebt der "Flächenzuwachs" also gegen 0. Wenn das aber für $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ gilt, dann bestimmt auch für $\begin{eqnarray*} (f(x))^2 = |f(x)|^2 \end{eqnarray*}$ .

Mir fehlt leider das richtige Argument, um das zu untermauern, falls es denn überhaupt gilt. Wie kann ich mir die (Nicht-?)Existenz des Integrals klarmachen?

Danke!

Edit: Andererseits würde daraus ja induktiv folgen, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty (f(x))^{2k} dx \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ existiert und damit auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{s\to\infty}\int_0^\infty |f(x)|^s dx \end{eqnarray*}$ .

Das kann ich mir irgendwie schwer vorstellen smile

. Knifflig.

15.05.2012, 18:20

HAL 9000

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Betrachte die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(1-n^3|x-n|)\cdot 1_{\left[n-\frac{1}{n^3},n+\frac{1}{n^3}\right]}(x) \end{eqnarray*}$

d.h. eine Folge von Keilen, wobei der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Keil symmetrisch bei Position $\begin{eqnarray*} x=n \end{eqnarray*}$ liegt und dort die Höhe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und Breite $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^3} \end{eqnarray*}$ besitzt...

15.05.2012, 18:30

Yakmiras

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Sorry, ich verstehe Deine Antwort nicht.

15.05.2012, 18:39

HAL 9000

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Eigentlich hatte ich gehofft, dass du zwei und zwei zusammenzählst und erkennst, dass es derart formuliert nur um ein Gegenbeispiel zu deiner Behauptung gehen kann.

15.05.2012, 18:54

Yakmiras

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Naja, dass das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ein Gegenbeispiel ist, habe ich mir durchaus gedacht. Dennoch gebe ich mich ungern mit einer Lösung zufrieden, wenn ich sie nicht verstehe. Mir geht es bei der Mathematik nicht darum, mit dem minimalen Aufwand die nötige Punktzahl zum Bestehen zu erreichen, sondern um tieferes Verständnis. Kein Grund ausfallend zu werden. smile

15.05.2012, 18:59

HAL 9000

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reichlich undankbar
Wer wird denn hier ausfallend? Ich zwinge dich doch nicht, das Gegenbeispiel zu nehmen. Wenn du es aber in Erwägung ziehst, dann solltest du die entsprechenden Integrale doch berechnen können, das ist doch das mindeste, was man verlangen kann. Es ist soviel schwieriger, ein solches Beispiel zu konstruieren, als es dann nachzuvollziehen ist.

15.05.2012, 19:22

Yakmiras

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Magst du mir die Funktion bitte noch einmal erklären? Ich verstehe sie leider nicht.

15.05.2012, 19:32

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} 1_{[a,b]} \end{eqnarray*}$ kennzeichnet wie üblich die Indikatorfunktion des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist

$\begin{eqnarray*} 1_{[a,b]}(x) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für} \, a\leq x\leq b \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Darüber hinaus habe ich bereits die Konstruktion verbal erläutert

Zitat:

Original von HAL 9000
d.h. eine Folge von Keilen, wobei der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Keil symmetrisch bei Position $\begin{eqnarray*} x=n \end{eqnarray*}$ liegt und dort die Höhe $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und Breite $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n^3} \end{eqnarray*}$ besitzt...

was ich gar nicht hätte tun müssen, weil die Formel für sich spricht. Es ist jetzt wirklich an dir, die Funktion mal zu skizzieren sowie die Integrale zu berechnen. Ansonsten müsste ich leider konstatieren, dass das hier

Zitat:

Original von Yakmiras
Mir geht es bei der Mathematik nicht darum, mit dem minimalen Aufwand die nötige Punktzahl zum Bestehen zu erreichen, sondern um tieferes Verständnis.

zwar ein schöner Vortrag war, doch leider nur Lippenbekenntnisse: Du musst schon mal ein paar Finger krumm machen, statt dich hier vollständig bedienen zu lassen.

16.05.2012, 18:13

Yakmiras

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Laut Lösung ist die Aussage wahr.

16.05.2012, 18:31

Yakmiras

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Die von Dir angegebene Funktion ist ja auch nicht stetig. smile

16.05.2012, 18:39

speedyschmidt

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Das ist langsam frech. Du hast sie immernoch nicht aufgemalt...

16.05.2012, 18:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Yakmiras
Laut Lösung ist die Aussage wahr.

Nein, ist sie nicht. Es sei denn, du hast eine oder einige der Voraussetzungen vergessen anzugeben: Z.B. würde Beschränktheit die Situation fundamental ändern.

Zitat:

Original von Yakmiras
Die von Dir angegebene Funktion ist ja auch nicht stetig. smile

Aha. Dann nenne mir doch bitte mal wenigstens eine Stelle, an der mein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ unstetig ist. Big Laugh

18.05.2012, 17:51

Yakmiras

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Ihr habt ja Recht... Augenzwinkern

Die Lösung wurde inzwischen auch korrigiert, man muss wohl Beschränktheit voraussetzen...

18.05.2012, 18:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Yakmiras
Ihr habt ja Recht... Augenzwinkern

Womit? Es gab mehrere offene Fragen, ich warte z.B. noch auf die Nennung einer Unstetigkeitsstelle. smile

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