Stochastik, Erwartungswert Würfeln

15.05.2012, 18:23

Gast11022013

Stochastik, Erwartungswert Würfeln

Meine Frage:
Hi,
ich bräuchte eben eine Kontrolle für folgende Aufgabe:

Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mindestens einmal eine Sechs fällt?

Meine Ideen:
Ich habe nun so gedacht:

E(x)=90%

ebenfalls muss n-mal keine Sechs kommen, also $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ und einmal die Sechs kommen, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Also habe ich so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n=0,9 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich den Konstantenfaktor vor das Summenzeichen ziehen. Der Rest ist dann die geometrische Reihe.

Das ergäbe dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}\cdot \frac{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}{1-\frac{5}{6}}=0,9 \end{eqnarray*}$

So komme ich auf $\begin{eqnarray*} n=12,63 \end{eqnarray*}$ also beim 13 Wurf liegt die Wahrscheinlichkeit bei über 90%. Wäre dies ein richtiger Lösungsweg, oder habe ich vielleicht zu kompliziert gedacht?

Wäre für jeden Tipp dankbar.

Danke im Voraus.

Mfg

15.05.2012, 18:29

Mystic

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RE: Stochastik, Erwartungswert Würfeln
Hm, ich hätte ja gedacht, dass die Gegenwahrscheinlichkeit nach n Würfen unter 10% sinken muss... Aber ja, warum nicht, wenn du es gerne "ausführlich" machst... Big Laugh

15.05.2012, 18:32

Dopap

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Das ist so schon richtig, aber ein wenig komplziert.
Mit der Gegenwkt. geht das ohne Summe:

$\begin{eqnarray*} 1-(\frac 56)^n = 0.9 \end{eqnarray*}$

15.05.2012, 18:32

Gast11022013

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Wieso?? In wie fern wäre es leichter wenn man über die Gegenwahrscheinichkeit geht?

Ich sehe da ehrlich gesagt keinen Unterschied.

Außerdem haben ausführliche Lösungen, gerade wenn das über krasse Summenzeichen auftaucht, weitaus mehr Coolness. Big Laugh

Spaß.

Wenn du die Notwendige Zeit findest, wäre ich interessiert, deine Lösungsmethode zu sehen.

So wäre es aber schon richtig, ja?

Edit: Damit hat es sich erledigt. smile

Danke euch zwei. Freude

15.05.2012, 18:37

Mystic

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@Dopap

So wie du das als Gleichung anschreibst, würde ich die Variable darin lieber x nennen, denn von der weiß ja man ja nur, dass sie eine positive reelle Zahl ist... Das gesuchte n ergibt sich dann daraus durch die Festsetzung

$\begin{eqnarray*} n:=\lceil x \rceil \end{eqnarray*}$

15.05.2012, 18:45

Dopap

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Zitat:

Original von Mystic

$\begin{eqnarray*} n:=\lceil x \rceil \end{eqnarray*}$

dieses ceiling, (die Decke) ist dann wohl floor +1.

hat die alte Gaussklammer ausgedient?

15.05.2012, 18:51

Mystic

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@Dopap

Wenn x ganz ist, gilt die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \lfloor x \rfloor = \lceil x \rceil \end{eqnarray*}$ , ansonsten hast du recht... Und ja, die Gaußklammer hat weitgehend ausgedient... Augenzwinkern

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