Dynkin-System vs Sigma Algebra

15.05.2012, 20:31

MatheMathosi

Dynkin-System vs Sigma Algebra

Meine Frage:
Es gilt ja folgender Satz: (Wikipedia unter Dynkin-System Abschnitt "Zusammenhang mit $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra "

Ein Dynkin System ist genau dann eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, wenn es Durchschnittstabil ist.

Warum ist ein D-System aber nicht Durchschnittstabil ?

Ich sehe den Unterschied zur $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra gerade nicht.

Meine Ideen:
Die leere Menge enthalten beide und beide Mengensysteme sind auch abgeschlossen unter Komplementbildung.

Die 3. Eigenschaft wurde bei uns wie folgt definiert :

Für die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} A_{n} \in \Sigma, n \in \mathbb{N} \ \Rightarrow \ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \Sigma \end{eqnarray*}$

Und für das Dynkin System D:

$\begin{eqnarray*} \forall n : A_{n} \in D, A_{n} \subseteq A_{n+1} \ \Rightarrow \ \bigcup\limits_{n} A_{n} \in D \end{eqnarray*}$

In Wikipedia steht unter Dynkin-System: "Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer, disjunkter Vereinigungen"

Und weiter unter Maßtheorie: "Jedes Dynkin-System und jeder Halbring ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem"

Letztere Aussage ist doch dann falsch oder ?
Die nächste Frage wäre dann warum ist die Aussage falsch ?

15.05.2012, 20:41

HAL 9000

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Am besten gibt man mal ein Beispiel an: Für $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \mathcal{D} = \left\{ \emptyset, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \{1,2,3,4\} \right\} \end{eqnarray*}$

zwar ein Dynkin-System, aber keine Sigma-Algebra. unglücklich

15.05.2012, 20:51

MatheMathosi

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Ok ! Ich verstehe aber gerade die 3. Eigenschaft des Dynkin-Systems nicht.

{1,2} ist Teilmenge von {1,2,3,4} und {2,4} ist Teilmenge von {1,2,3,4} aber {1,2}u{2,4}={1,2,4} nicht in D

15.05.2012, 20:53

HAL 9000

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{1,2} und {2,4} sind nicht disjunkt, für die wird (im Gegensatz zur Sigma-Algebra) nicht gefordert, dass deren Vereinigung im Dynkin-System enthalten sein muss! unglücklich

15.05.2012, 20:57

MatheMathosi

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Ok das habe ich nun verstanden.

Das heisst die Aussage bei Wikipedia unter Maßtheorie ist falsch ! (richtig ?)

Das die Mengen disjunkt sein müssen geht aber aus der Definition die ich oben angeführt habe aber nicht hervor oder ?

15.05.2012, 21:00

HAL 9000

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Ich kenne eine andere Definition des Dynkin-Systems, nämlich die die auch in der Wikipedia steht. Aber gewöhnlich ist das kein Beinbruch, man kann solche Mengensysteme meist auf verschiedene Weisen definieren, die sich am Ende aber als einander äquivalent herausstellen - natürlich nur in der Gesamtheit, nicht bei einzeln herausgegriffenen Eigenschaften.

Ja und das hier

Zitat:

Jedes Dynkin-System [...] ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem"

ist tatsächlich falsch.

15.05.2012, 21:10

MatheMathosi

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Also die komplette Definition unserer Vorlesung lautet:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ heißt Dynkin-System falls:

(D1) $\begin{eqnarray*} \Omega \in \mathcal{D} \end{eqnarray*}$

(D2) $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathcal{D}, \ B\subseteq A \Rightarrow \ \end{eqnarray*}$ A\B $\begin{eqnarray*} \in \mathcal{D} \Rightarrow A^{c} \in \mathcal{D} \end{eqnarray*}$

(D3) $\begin{eqnarray*} \forall n : A_{n} \in D, A_{n} \subseteq A_{n+1} \ \Rightarrow \ \bigcup\limits_{n} A_{n} \in D \end{eqnarray*}$

Ist das dann so korrekt ? Hier geht doch nicht hervor, dass die Aussage (D3) nur für disjunkte Vereinigungen gilt.

15.05.2012, 21:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Hier geht doch nicht hervor, dass die Aussage (D3) nur für disjunkte Vereinigungen gilt.

Bitte verdrehe nicht die Aussagen: Forum Kloppe

Keiner sagt, dass nur die disjunkten Vereinigungen drin sind. Es wird nur garantiert, dass die disjunkten Vereinigungen drin sind - für andere Vereinigungen wird schlicht nix gefordert. Du dagegen willst gleich daraus schließen, dass diese anderen Vereinigungen nicht drin sind - das ist pure Unlogik. unglücklich

15.05.2012, 21:24

MatheMathosi

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.....

solltest du vllt. mal bei dir ausprobieren geht wie folgt : Hammer

Nein Spaß bei Seite.

Das heisst also disjunkte Vereinigungen müssen wieder im Dynkin-System sein und nicht disjunkte Vereinigungen können, müssen aber nicht in D enthalten sein.
Das lese ich aus (D3) aber auch nicht heraus... verwirrt

15.05.2012, 21:25

HAL 9000

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Ich hab echt keine Lust, die Äquivalenz der verschiedenen Dynkin-System-Definitionen hier beweismäßig durchzukauen, das sind eigene Übungsaufgaben, um die es hier im Thread primär nicht geht.

Wichtig ist doch nur, dass du Punkt für Punkt - auch mit eurer Definition - prüfen kannst, dass das von mir oben angegebene $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ tatsächlich ein Dynkin-System ist. Darum geht es doch hier im Thread, oder? Um ein Dynkin-System, das keine Sigma-Algebra ist.

15.05.2012, 21:33

MatheMathosi

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Mir hätte es schon genügt, dass jmd. erklärt wie (D3) zu verstehen ist. Wie soll ich das denn nachprüfen wenn mir die Definition nicht ganz klar ist ?

Soll ich jetzt einen neuen Thread aufmachen "Definitionsproblem" oder was ?

Die Frage hat sich doch aus dem Problem ergeben...

Zitat:

Ich hab echt keine Lust, die Äquivalenz der verschiedenen Dynkin-System-Definitionen hier beweismäßig durchzukauen

das verlangt auch keiner Buschmann

umbah umbah

15.05.2012, 21:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Mir hätte es schon genügt, dass jmd. erklärt wie (D3) zu verstehen ist. Wie soll ich das denn nachprüfen wenn mir die Definition nicht ganz klar ist ?

Es steht doch da: Für jede monoton aufsteigende Folge $\begin{eqnarray*} (A_n) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ muss auch $\begin{eqnarray*} \bigcup_n A_n\in \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ gelten.

"Monoton aufsteigend" gilt dabei im Inklusionssinn, d.h. $\begin{eqnarray*} A_n\subseteq A_{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

15.05.2012, 21:46

MatheMathosi

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Achso ok klar !

Gut, jetzt sind alle Fragen beseitigt smile

Vielen Dank für deine Hilfe.

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