Wahrscheinlichkeitsrechnung III

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Esto Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsrechnung III
Weiter geht's Big Laugh Ich habe noch 4 Aufgaben dieser Art zu lösen. Und bis jetzt habt ihr mir immer super geholfen ^^

Wir sollen uns in der Uni nebenbei mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen. In der Schule habe ich es mal behandelt. Aber das meiste habe ich vergessen. Drum brauche ich eure Hilfe.

Aufgabe:
Wir haben einen vierseitigen (fairen) Würfel. Die Augenzahlen sind also entsprechend 1 - 4. Es werden n Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens n/4 die gleich Augenzahl haben?

Ich habe mir überlegt:
Logisch: die Anzahl der Würfel muss ein Vielfaches von 4 sein, also n = 4k mit k > 0 und
Sei nun k beliebig groß. Die Augenzahl des ersten Würfels ist beliebig. Die Wahrscheinlichkeit dass der nächste Würfel die selbe Augenzahl hat ist 1/4. Das setzt sich fort für alle weiteren Würfel. Ich multipliziere jeweils 1/4 hinzu. Wegen folgt: die Wahrscheinlichkeit dass n/4 der Würfel die selbe Augenzahl hat beträgt:


Ist das korrekt?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung III
Zitat:
Original von Esto
Ich habe mir überlegt:
Logisch: die Anzahl der Würfel muss ein Vielfaches von 4 sein, also n = 4k mit k > 0 und

Falsch!
Es heißt ja mindestens n/4. Bei n = 10 ist die Bedingung erfüllt, wenn 3 oder mehr Würfel die gleiche Augenzahl haben.

Zitat:
Sei nun k beliebig groß. Die Augenzahl des ersten Würfels ist beliebig. Die Wahrscheinlichkeit dass der nächste Würfel die selbe Augenzahl hat ist 1/4. Das setzt sich fort für alle weiteren Würfel. Ich multipliziere jeweils 1/4 hinzu. Wegen folgt: die Wahrscheinlichkeit dass n/4 der Würfel die selbe Augenzahl hat beträgt:

Wieder falsch! Die mindestens n/4 gleiche Augenzahlen müssen doch nicht identisch mit der ersten gewürfelten Zahl sein. Wenn man bei 10 Würfeln erst die 1 wirft und in den restlichen Würfen z.B 3 mal oder öfter die 2, ist die Bedingung erfüllt.


Überleg doch mal folgendes: Können alle 4 Zahlen 1, 2, 3, 4 weniger als n/4 mal auftreten?
Esto Auf diesen Beitrag antworten »

Soo ... war eine Weile nicht da Wink , weiter gehts .

Danke für deinen Hinweis ich glaube, ich weiß was du meinst.
Es gibt immer mindestens eine Zahl die mindestens n/4 mal auftaucht:
Wenn wir weniger (oder genau) als 4 Würfel haben, ist es offensichtlich. Bei n = 5 haben wir beispielsweise 4 Würfel die alle eine unterschiedliche Zahl aufweisen. Der fünfte Würfel muss wiederum eine gemeinsame Zahl haben mit einem von den anderen vieren, d.h. 2 Würfel haben die selbe Augenzahl und
. (Nach dem Schubfachprinizip) kann man dies für n beliebig fortsetzen.

Ich weiß nicht ob das dann reicht wenn ich schreibe für beliebige n:
Ich rechne n % 4. Das ist gleichbedeutend damit dass, ich alle Würfel nach Augenzahl sortiere. Wenn n % 4 = 0 dann taucht jede Zahl genau n/4 - Mal auf. Wenn n % 4 ungleich 0, dann gibt es Zahlen, die mindestens n/4 - Mal + x auftauchen.
Daraus folgt: Die Wahrscheinlichkeit dass mindestens n/4 Würfel die gleiche Augenzahl haben, beträgt 100 %

Ich hoffe , ich habe den Hinweis richtig verstanden (?)
MfG
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles noch sehr diffus bei dir. Es seien die Zahl der Würfe mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4. Da insgesamt n mal geworfen wurde, muss gelten:



Jetzt nimm an, jede dieser Zahlen sei kleiner . Dann hätte man doch



im Widerspruch zur vorigen Gleichung.
Esto Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Widerspruchsbeweis, hättest du nicht das sagen können ? xD
Ne im Ernst: Auf einen so schönen Beweis wäre ich wohl nicht gekommen. Ich geb zu meine Argumentation kann da nicht mithalten.
Wie gesagt - ich wollte irgendwie mit dem Schubfachprinzip argumentieren.
Danke für Deine Hilfe.
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