Wahrscheinlichkeitsrechnung III |
15.05.2012, 22:53 | Esto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wahrscheinlichkeitsrechnung III Wir sollen uns in der Uni nebenbei mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen. In der Schule habe ich es mal behandelt. Aber das meiste habe ich vergessen. Drum brauche ich eure Hilfe. Aufgabe: Wir haben einen vierseitigen (fairen) Würfel. Die Augenzahlen sind also entsprechend 1 - 4. Es werden n Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens n/4 die gleich Augenzahl haben? Ich habe mir überlegt: Logisch: die Anzahl der Würfel muss ein Vielfaches von 4 sein, also n = 4k mit k > 0 und Sei nun k beliebig groß. Die Augenzahl des ersten Würfels ist beliebig. Die Wahrscheinlichkeit dass der nächste Würfel die selbe Augenzahl hat ist 1/4. Das setzt sich fort für alle weiteren Würfel. Ich multipliziere jeweils 1/4 hinzu. Wegen folgt: die Wahrscheinlichkeit dass n/4 der Würfel die selbe Augenzahl hat beträgt: Ist das korrekt? |
||||||
16.05.2012, 09:06 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung III
Falsch! Es heißt ja mindestens n/4. Bei n = 10 ist die Bedingung erfüllt, wenn 3 oder mehr Würfel die gleiche Augenzahl haben.
Wieder falsch! Die mindestens n/4 gleiche Augenzahlen müssen doch nicht identisch mit der ersten gewürfelten Zahl sein. Wenn man bei 10 Würfeln erst die 1 wirft und in den restlichen Würfen z.B 3 mal oder öfter die 2, ist die Bedingung erfüllt. Überleg doch mal folgendes: Können alle 4 Zahlen 1, 2, 3, 4 weniger als n/4 mal auftreten? |
||||||
19.05.2012, 17:56 | Esto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soo ... war eine Weile nicht da , weiter gehts . Danke für deinen Hinweis ich glaube, ich weiß was du meinst. Es gibt immer mindestens eine Zahl die mindestens n/4 mal auftaucht: Wenn wir weniger (oder genau) als 4 Würfel haben, ist es offensichtlich. Bei n = 5 haben wir beispielsweise 4 Würfel die alle eine unterschiedliche Zahl aufweisen. Der fünfte Würfel muss wiederum eine gemeinsame Zahl haben mit einem von den anderen vieren, d.h. 2 Würfel haben die selbe Augenzahl und . (Nach dem Schubfachprinizip) kann man dies für n beliebig fortsetzen. Ich weiß nicht ob das dann reicht wenn ich schreibe für beliebige n: Ich rechne n % 4. Das ist gleichbedeutend damit dass, ich alle Würfel nach Augenzahl sortiere. Wenn n % 4 = 0 dann taucht jede Zahl genau n/4 - Mal auf. Wenn n % 4 ungleich 0, dann gibt es Zahlen, die mindestens n/4 - Mal + x auftauchen. Daraus folgt: Die Wahrscheinlichkeit dass mindestens n/4 Würfel die gleiche Augenzahl haben, beträgt 100 % Ich hoffe , ich habe den Hinweis richtig verstanden (?) MfG |
||||||
19.05.2012, 18:59 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist alles noch sehr diffus bei dir. Es seien die Zahl der Würfe mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4. Da insgesamt n mal geworfen wurde, muss gelten: Jetzt nimm an, jede dieser Zahlen sei kleiner . Dann hätte man doch im Widerspruch zur vorigen Gleichung. |
||||||
19.05.2012, 19:11 | Esto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein Widerspruchsbeweis, hättest du nicht das sagen können ? xD Ne im Ernst: Auf einen so schönen Beweis wäre ich wohl nicht gekommen. Ich geb zu meine Argumentation kann da nicht mithalten. Wie gesagt - ich wollte irgendwie mit dem Schubfachprinzip argumentieren. Danke für Deine Hilfe. |
|