Wahrscheinlichkeitsrechnung III

15.05.2012, 22:53

Esto

Wahrscheinlichkeitsrechnung III

Weiter geht's Big Laugh

Ich habe noch 4 Aufgaben dieser Art zu lösen. Und bis jetzt habt ihr mir immer super geholfen ^^

Wir sollen uns in der Uni nebenbei mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen. In der Schule habe ich es mal behandelt. Aber das meiste habe ich vergessen. Drum brauche ich eure Hilfe.

Aufgabe:
Wir haben einen vierseitigen (fairen) Würfel. Die Augenzahlen sind also entsprechend 1 - 4. Es werden n Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens n/4 die gleich Augenzahl haben?

Ich habe mir überlegt:
Logisch: die Anzahl der Würfel muss ein Vielfaches von 4 sein, also n = 4k mit k > 0 und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$
Sei nun k beliebig groß. Die Augenzahl des ersten Würfels ist beliebig. Die Wahrscheinlichkeit dass der nächste Würfel die selbe Augenzahl hat ist 1/4. Das setzt sich fort für alle weiteren Würfel. Ich multipliziere jeweils 1/4 hinzu. Wegen $\begin{eqnarray*} k = \frac n 4 \end{eqnarray*}$ folgt: die Wahrscheinlichkeit dass n/4 der Würfel die selbe Augenzahl hat beträgt:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac 1 4 \right) ^{k-1} \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

16.05.2012, 09:06

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung III

Zitat:

Original von Esto
Ich habe mir überlegt:
Logisch: die Anzahl der Würfel muss ein Vielfaches von 4 sein, also n = 4k mit k > 0 und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Falsch!
Es heißt ja mindestens n/4. Bei n = 10 ist die Bedingung erfüllt, wenn 3 oder mehr Würfel die gleiche Augenzahl haben.

Zitat:

Sei nun k beliebig groß. Die Augenzahl des ersten Würfels ist beliebig. Die Wahrscheinlichkeit dass der nächste Würfel die selbe Augenzahl hat ist 1/4. Das setzt sich fort für alle weiteren Würfel. Ich multipliziere jeweils 1/4 hinzu. Wegen $\begin{eqnarray*} k = \frac n 4 \end{eqnarray*}$ folgt: die Wahrscheinlichkeit dass n/4 der Würfel die selbe Augenzahl hat beträgt:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac 1 4 \right) ^{k-1} \end{eqnarray*}$

Wieder falsch! Die mindestens n/4 gleiche Augenzahlen müssen doch nicht identisch mit der ersten gewürfelten Zahl sein. Wenn man bei 10 Würfeln erst die 1 wirft und in den restlichen Würfen z.B 3 mal oder öfter die 2, ist die Bedingung erfüllt.

Überleg doch mal folgendes: Können alle 4 Zahlen 1, 2, 3, 4 weniger als n/4 mal auftreten?

19.05.2012, 17:56

Esto

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Soo ... war eine Weile nicht da Wink

, weiter gehts .

Danke für deinen Hinweis ich glaube, ich weiß was du meinst.
Es gibt immer mindestens eine Zahl die mindestens n/4 mal auftaucht:
Wenn wir weniger (oder genau) als 4 Würfel haben, ist es offensichtlich. Bei n = 5 haben wir beispielsweise 4 Würfel die alle eine unterschiedliche Zahl aufweisen. Der fünfte Würfel muss wiederum eine gemeinsame Zahl haben mit einem von den anderen vieren, d.h. 2 Würfel haben die selbe Augenzahl und
$\begin{eqnarray*} 2 \geq \frac 5 4 \end{eqnarray*}$ . (Nach dem Schubfachprinizip) kann man dies für n beliebig fortsetzen.

Ich weiß nicht ob das dann reicht wenn ich schreibe für beliebige n:
Ich rechne n % 4. Das ist gleichbedeutend damit dass, ich alle Würfel nach Augenzahl sortiere. Wenn n % 4 = 0 dann taucht jede Zahl genau n/4 - Mal auf. Wenn n % 4 ungleich 0, dann gibt es Zahlen, die mindestens n/4 - Mal + x auftauchen.
Daraus folgt: Die Wahrscheinlichkeit dass mindestens n/4 Würfel die gleiche Augenzahl haben, beträgt 100 %

Ich hoffe , ich habe den Hinweis richtig verstanden (?)
MfG

19.05.2012, 18:59

Huggy

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Das ist alles noch sehr diffus bei dir. Es seien $\begin{eqnarray*} n_1, n_2, n_3, n_4 \end{eqnarray*}$ die Zahl der Würfe mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4. Da insgesamt n mal geworfen wurde, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} n_1+n_2+n_3+n_4=n \end{eqnarray*}$

Jetzt nimm an, jede dieser Zahlen sei kleiner $\begin{eqnarray*} n/4 \end{eqnarray*}$ . Dann hätte man doch

$\begin{eqnarray*} n_1+n_2+n_3+n_4 < \frac {n}{4}+ \frac {n}{4}+\frac {n}{4}+\frac {n}{4}=n \end{eqnarray*}$

im Widerspruch zur vorigen Gleichung.

19.05.2012, 19:11

Esto

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Ein Widerspruchsbeweis, hättest du nicht das sagen können ? xD
Ne im Ernst: Auf einen so schönen Beweis wäre ich wohl nicht gekommen. Ich geb zu meine Argumentation kann da nicht mithalten.
Wie gesagt - ich wollte irgendwie mit dem Schubfachprinzip argumentieren.
Danke für Deine Hilfe.

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