partielle Ableitung (lipschitz- Stetigkeit)

16.05.2012, 10:27	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
partielle Ableitung (lipschitz- Stetigkeit) Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Frage, bezüglich dem Differenzenquotienten der partiellen Ableitung: Der sieht ja so aus: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1,...,x_k + h,...,x_n) - f(x_1,...,x_k,...,x_n)}{h} \end{eqnarray}$ jetzt würde ich gerne zeigen, dass die Beschränktheit der partiellen Ableitungen die Lipschitzstetigkeit und so die stetigkeit impliziert. Und für diesen Beweis den Differenzenquotieten lieber so schreiben, also ähnlicher wie im $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{x_k \to x_0} \frac{f(x_1,...,x_k - x_0,...,x_n) - f(x_1,...,x_k,...,x_n)}{x_k-x_0} \end{eqnarray}$ kann ich das so schreiben?? Oder muss ich es mit dem h schreiben?? Weil aus dem 2ten folgt im Grunde nach Umstellen und einer Schranke M direkt die Lipschitzstetigkeit.. Meine Ideen: Danke für die Hilfe
16.05.2012, 22:06	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das geht, man darf für das h nach Def. der "lim"-Schreibweise beliebige Nullfolgen einsetzen. Der Unterschied zwischen deiner ersten und deiner 2. Zeile ist, dass in der ersten $\begin{eqnarray} \frac{del f}{del x_k} \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} (x_1,..,x_k) \end{eqnarray}$ und bei der 2. an der Stelle $\begin{eqnarray} (x_1,..,x_{k-1},x_0,x_{k+1},..,x_n) \end{eqnarray}$ gebildet wird. Aber das ist ja nur die Benennung der Koordinaten.
16.05.2012, 22:10	lp-raum	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe doch noch einen Fehler gefunden: Es sollte (wie du wahrscheinlich auch meintest) $\begin{eqnarray} f(x_1,..,x_k,..,x_n)-f(x_1,..,x_0,..,x_n) \end{eqnarray}$ im Zähler der 2. Zeile sein.
17.05.2012, 11:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es nicht so gar so dran stehen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{x_k \to x_0} \frac{f(x_1,...,x_k,...,x_n) - f(x_1,...,x_0,...,x_n)}{(x_1,...x_k,..x_n)-(x_1,...x_0,...x_n)} \end{eqnarray}$ ist ja dann im Grunde so was sie: $\begin{eqnarray} \frac{f(\vec{x} ) - f(\vec{y}) }{\vec{x} -\vec{y} } \end{eqnarray}$ mit Beträgen und einer Schranke L folgt dann schon die Lipschitzstetigkeit oder?
18.05.2012, 15:36	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
mittlerweile merke ich, dass mir der Limes noch Probleme bereiten könnte! Den nur weil der Limes davon beschränkt ist, muss ja der Differenzenquotient selber nicht auch beschränkt sein. Ich habe es jetzt über den Mittelwertsatz gezeigt, mich würde aber interessieren, ob man diesen Ansatz hier auch weiter verfolgen könnte? Danke

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