bedingte Erwartungswerte/ W.keiten

16.05.2012, 16:29

Gast11022013

bedingte Erwartungswerte/ W.keiten

Meine Frage:
Hallo, ich befasse mich gerade mit bedingten Erwartungswerten und bedingten Wahrscheinlichkeiten im allgemeinen Fall, also über den (einfachen) diskreten Fall hinaus.

Sehe ich das richtig, daß es da sozusagen vier verschiedene "Ebenen" gibt:

1.) Ganz allgemein kann man das mit Teil-sigma-Algebren beschreiben, die die vorhandenen Informationen ausdrücken sollen. Das heißt man definiert die bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen, gegeben eine Teil-Sigma-Algebra.

2.) Dann eine Stufe niedriger kann man das auch mit Zufallsvariablen beschreiben, also die bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen, gegeben eine Zufallsvariable, die die bekannten Informationen "bereitstellt".

3.) Dann kann man den bedingten Erwartungswert noch faktorisieren (unter welchen Bedingungen?)

4.) Man kann doch auch den bedingten Erwartungswert mit Hilfe von bedingten Dichten ausdrücken/ berechnen? Wann eigentlich?

...

16.05.2012, 19:32

Gast11022013

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Hab noch was hinzugefügt/ geändert.

17.05.2012, 16:24

saz

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Hallo,

deine zweite und dritte "Ebene" sind eigentlich identisch. Wenn du die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|Y) \end{eqnarray*}$ betrachtest, wobei X,Y Zufallsvariablen sind, dann existiert immer eine Faktorisierung der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|Y) = g \circ Y \end{eqnarray*}$ , das folgt einfach aus dem Faktorisierungslemma.

Zu 4: Mit bedingten Dichten kannst du rechnen, wenn X,Y eine gemeinsame Dichte haben, dann gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(h(X,Y)|Y) = \int h(x,Y) \cdot p_{X|Y}(x,Y) \, dx \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} p_{X|Y} \end{eqnarray*}$ die bedingte Dichte ist (die sich aus der gemeinsamen Dichte berechnen lässt) und h eine messbare Funktion mit $\begin{eqnarray*} h(X,Y) \in L^1 \end{eqnarray*}$ .

Man kann die bedingte Erwartung zB auch explizit gut angeben, wenn X und Y unabhängig sind.

Ich hoffe mal, das beantwortet (zumindest teilweise) deine Fragen... Wink

17.05.2012, 16:41

Gast11022013

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Dankeschön für die Antwort.

Wenn ich dann jetzt mal übergehe zu bedingten Wahrscheinlichkeiten, so sind das ja nur spezielle Erwartungswerte (Stichwort: Indikatorfunktion).

Nur zwei Begriffe verstehe ich in dem Zusammenhang nicht:

1.) faktorisierte bedingte Verteilung

2.) reguläre faktorisierte bedingte Verteilung

Könnte mir das noch jemand erklären?

17.05.2012, 20:14

Gast11022013

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Noch eine Frage.

Bei bedingten Erwartungswerten/ Wahrscheinlichkeiten unterteilt man das ja in den (einfacheren) diskreten Fall und den nicht so einfachen stetigen Fall.

Meint man damit, ob die Zufallsvariable, auf die man bedingt diskret oder stetig verteilt ist?

Ist der diskrete Fall deswegen "einfach", weil man da annahmen kann, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Zufallsvariable einen Wert annimmt größer als Null ist? (Und man also die elementare Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten anwenden kann?) Wieso kann man voraussetzen, daß diese W.keit größer als Null ist? Weil man weiß, daß die ZV nur so und so viel Werte annehmen kann? Wenn ich zum Beispiel an den Würfelwurf denke, so gibt es ja in der Tat kein Ereignis, das die W.keit Null hat.
Und wenn die Wahrscheinlichkeit doch Null ist, ist auch die bedingte W.keit null?

Und ist der stetige Fall schwerer, weil man eben nicht mehr davon ausgehen kann, daß die Wahrscheinlichkit dafür, daß die ZV einen Wert annimmt größer als Null ist und man deswegen eine Theorie bauen muss, die dies mit bedenkt?

18.05.2012, 10:27

saz

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Zu deinen Fragen hinsichtlich der Verteilungen kann ich dir leider nicht helfen.

Zur Thematik diskret/stetig:

Die Unterscheidung bezieht sich tatsächlich auf die Zufallsvariable, auf die man bedingt. Man kann relativ leicht zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|\mathcal{H}) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{E}(X|B_j) \cdot 1_{B_j} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \mathcal{H} = \sigma(B_j; j \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \bigcup_j B_j = \Omega \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ disjunkt, $\begin{eqnarray*} X \in L^1 \end{eqnarray*}$ . Dabei ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|B_j) := \begin{cases} \frac{\mathbb{E}(X \cdot 1_{B_j})}{\mathbb{P}(B_j)} & \mathbb{P}(B_j)>0 \\ 0 & \mathbb{P}(B_j) = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das kann man natürlich entsprechend anwenden, wenn eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y: \Omega \to \{y_1,y_2,\ldots\} \end{eqnarray*}$ nur diskrete Werte annimmt, indem man dann die $\begin{eqnarray*} B_j := \{w \in \Omega; Y(w) = y_j\} \end{eqnarray*}$ setzt.
Du kannst jedoch nicht einfach annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(B_j)>0 \end{eqnarray*}$ gilt ... es gibt durchaus Zufallsvariablen, für die das nicht korrekt ist. Das wäre also eine zusätzliche Voraussetzung an Y. Ist allerdings in dem Fall unnötig - wie du geschrieben hast, ist die bedingte Erwartung dann einfach 0.
Und JA, das ganze funktioniert offenbar also tatsächlich nur, wenn Y diskrete Werte annimmt. Für alles weitere muss man sich etwas anderes ausdenken.

(Zur Notation: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|\mathcal{H}) \end{eqnarray*}$ ist die bedingte Erwartung von X gegeben $\begin{eqnarray*} \mathcal{H} \end{eqnarray*}$ .)

18.05.2012, 13:30

Gast11022013

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten
Das heißt die Unterscheidung diskret/ stetig bezieht sich auf das bedingende Ereignis. Okay. Und dieses kann entweder eine Zufallsvariable sein oder eine Unter-sigma-Algebra.

Wie ist das mit dem anderen (also nicht dem bedingenden) Ereignis: Das drückt man ja meist durch Zufallsvariablen aus, oder? Ist es da "egal", ob diese stetig oder diskret sind? Oder muss diese Zufallsvariable diskret sein, wenn die bedingende ZV diskret ist (bzw. stetig, wenn die bedingende ZV stetig ist)?

Ich würde das so beantworten:
Es macht doch am meisten Sinn, wenn man diese Zufallsvariablen so definiert, daß die ganz durch die bedingende Unter-sigma-Algebra bzw. die bedingende Zufallsvariable (die dann ja auch wieder eine Unter-Sigma-Algebra erzeugt) bestimmt ist, oder? Also daß man sie als meßbar bezüglich der ganzen sigma-Algebra annimt (dann ist sie ja auch meßbar bezüglich der Unter-sigma-Algebra) und dann nur noch bezüglich der Unter-sigma-Algebra weiter denkt?

Schließlich soll ja die vorhandene Information irgendwie berücksichtigt werden und wenn man das Ereignis, das durch irgendein anderes Ereignis bedingt wird,durch eine Zufallsvariable definiert, die durch das bedingenede Ereignis gegebene Unter-sigma-Algebra bestimmt ist, so ist die Frage, ob diese ZV diskret oder stetig ist, doch eigentlich egal.

18.05.2012, 15:57

Gast11022013

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten
Also ich weiß nicht, ob ich das gut ausgedrückt habe...

Die Zufallsvariable, die das Ereignis ausdrückt, für das man die bedingende Zufallsvariable bzw. die bedingende Unter-sigma-Algebra kennt, ist ja i.d.R. eben nicht vollkommen bestimmt durch die Unter-sigma-Algebra, denn dann wüsste man ja jeweils schon, ob das Ereignis eingetreten ist.

Vielmehr ist es so, daß man eben versucht, mit der Unter-sigma-Algebra sozusagen versucht, die ganze Sigma-Algebra einzuschätzen.

Also es ist echt schwer auszudrücken...

Man sucht quasi eine Zufallsvariable die meßbar bezüglich der Unter-sigma-Algebra ist und die der Zufallsvariablen, die für das Ereignis steht, dessen Bedingung man kennt, möglichst nahe kommt.

Es wäre ja albern, wenn die Zufallsvariable bereits ganz durch die Unter-sigma-Algebra bestimmt wäre. Dann wäre es ja keine Unter-sigma-Algebra, sondern die ganze sigma-Algebra und die Informationen die man hat, sagen einem gleich alles.

Ich HOFFE; das macht einigermaßen SInn-

18.05.2012, 15:58

saz

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten

Zitat:

Original von Dennis2010
Wie ist das mit dem anderen (also nicht dem bedingenden) Ereignis: Das drückt man ja meist durch Zufallsvariablen aus, oder?

Diese Aussage ist aus mathematischer Sicht ziemlich unsinnig. Die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray*} L^1 \ni X \mapsto E(X|\mathcal{F}) \in L^1 \end{eqnarray*}$ ist einfach für sämtliche (integrierbare) Zufallsvariablen definiert. Als Spezialfall kann man eben die Indikatorfunktion von einem Ereignis wählen.
Wenn $\begin{eqnarray*} X: \Omega \to \{x_1,x_2,\ldots\} \end{eqnarray*}$ diskret ist, dann gilt (mit $\begin{eqnarray*} B_j := \{w \in \Omega, X(w)=x_j\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|\mathcal{F}) = \sum_{j \in \mathbb{N}} x_j \cdot \underbrace{\mathbb{E}(1_{B_j}|\mathcal{F})}_{\mathbb{P}(B_j|\mathcal{F})} \end{eqnarray*}$

... ob das nun "einfacher" zu berechnen ist, hängt dann von der gegebenen Zufallsgröße und der sigma-Algebra ab. Bei der zu bedingenden Zufallsvariable ist der Unterschied eben deshalb fundamentaler, weil dann die sigma-Algebra im diskreten Fall eine recht angenehme Form hat.

Zitat:

Original von Dennis2010
Es macht doch am meisten Sinn, wenn man diese Zufallsvariablen so definiert, daß die ganz durch die bedingende Unter-sigma-Algebra bzw. die bedingende Zufallsvariable (die dann ja auch wieder eine Unter-Sigma-Algebra erzeugt) bestimmt ist, oder? Also daß man sie als meßbar bezüglich der ganzen sigma-Algebra annimt (dann ist sie ja auch meßbar bezüglich der Unter-sigma-Algebra) und dann nur noch bezüglich der Unter-sigma-Algebra weiter denkt?

Die Aussage von dem Absatz erschließt sich mir noch nicht wirklich (was sind "diese Zufallsvariablen"?) und ist teilweise falsch. Es gilt eben zB nicht, dass eine Zufallsvariable, die messbar bzgl. einer sigma-Algebra ist, auch messbar bzgl. einer Unter-sigma-Algebra ist. Genau die umgekehrte Aussage ist wahr!

18.05.2012, 16:11

Gast11022013

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Das mit der Unter-sigma-Algebra habe ich im letzten Beitrag von mir anscheinend gemerkt und deswegen da nochmal anders gefragt. Augenzwinkern

Und wegen der anderen Frage: Ich wollte einfach nur wissen, ob man das Ereignis (nicht das bedingende) immer als Zufallsvariable auffasst.

Deine Antwort verstehe ich so: JA, denn der bedingte Erwartungswert ist sogar gerade so definiert, daß dieses Ereignis durch eine ZV ausgedrückt ist (bei Dir: X).

Richtig verstanden?
Meine Frage war also nicht unsinnig, sondern überflüssig? Augenzwinkern

Weil es per definitionem so ist?

18.05.2012, 16:15

saz

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten

Zitat:

Man sucht quasi eine Zufallsvariable die meßbar bezüglich der Unter-sigma-Algebra ist und die der Zufallsvariablen, die für das Ereignis steht, dessen Bedingung man kennt, möglichst nahe kommt.

Das klingt schon mal besser - auch wenn du immer exakt unterscheiden solltest, ob du von einem Ereignis oder von einer Zufallsvariablen sprichst. Eine Zufallsvariable, "die für das Ereignis steht", gibt es nicht. Mag dir vielleicht pinglig vorkommen - aber dann benutze eben lieber den Begriff Indikatorfunktion oder ähnliches.

Ich würde es am ehesten so formulieren, wenn man es anschaulich haben will: Du hast eine sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ gegeben und diese drückt anschaulich gesprochen die Informationen aus, die du besitzt. Und du suchst nun eine $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsvariable Y, die eine Zufallsvariable X im Hinblick auf diese gegebenen Informationen möglichst gut ausdrückt/approximiert. Dieses "möglich gut" ist mathematisch, falls es sich um $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen handelt, durch die $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ Norm beschreibbar, es gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \|X-Y\|_2 = \inf \{\|X-\Phi\|_2; \Phi \in L^2(\mathcal{F})\} \end{eqnarray*}$

falls $\begin{eqnarray*} Y = \mathbb{E}(X|\mathcal{F}) \end{eqnarray*}$ , d.h. Y minimiert (im $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -Sinn) den Abstand.

Du könntest dir zum Beispiel mal überlegen, wie man das aufs Glücksspiel anwenden kann...

Zitat:

Und wegen der anderen Frage: Ich wollte einfach nur wissen, ob man das Ereignis (nicht das bedingende) immer als Zufallsvariable auffasst.

Achso, dir ging es also um die bedingte Wahrscheinlichkeit. Und ja, für ein Ereignis A ist die bedingte Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(A|\mathcal{F}) := \mathbb{E}(1_A|\mathcal{F}) \end{eqnarray*}$

definiert - also fasst man es wie du schreibst als Zufallsvariable (Indikatorfunktion) auf.

18.05.2012, 16:24

Gast11022013

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten
Soll die sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ aus Deinem letzten Beitrag eine Unter-sigma-Algebra sein von $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X\colon (\Omega,\mathcal{G})\to (\Omega',\mathcal{G}') \end{eqnarray*}$ ?

Okay, ich muss also entweder von Ereignis reden oder von Zufallsvariable in Form der entsprechenden Indikatorfunktion.

18.05.2012, 16:28

saz

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten

Zitat:

Original von Dennis2010
Soll die sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ aus Deinem letzten Beitrag eine Unter-sigma-Algebra sein von $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} X\colon (\Omega,\mathcal{G})\to (\Omega',\mathcal{G}') \end{eqnarray*}$ ?

Ja, genau .... Wink

18.05.2012, 16:28

Gast11022013

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Vielen lieben Dank!

Ich denke, damit kann ich erstmal gut weiterarbeiten.

18.05.2012, 17:27

Gast11022013

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RE: bedingte Erwartungswerte/ W.keiten
Wieso ist es eigentlich so, daß DIESE Definition von bedingtem Erwartungswert bzw. bedingter Wahrscheinlichkeit keine Probleme mehr damit hat, auf Ereignisse der Wahrscheinlichkeit Null zu bedingen?

Ich meine die elementare Definition:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ geht ja nicht, wenn $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ .

Muss man das dann in der allgemeinen Theorie so schreiben:

$\begin{eqnarray*} P(1_A|1_B) \end{eqnarray*}$ ?

Und dann:

Bei $\begin{eqnarray*} P(A|B)=E(1_A|1_B) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{C}:=\left\{1^{-1}_B(D)~|~D\in\mathcal{B}\right\} \end{eqnarray*}$ als Unter-sigma-Algebra der Informationsgehalt der ZV $\begin{eqnarray*} 1_B \end{eqnarray*}$ ist?

Und dann taucht hier das Problem mit dem durch Null teilen nicht auf, weil halt die Definition des EW (im allgemeinen Fall) dieses Problem nicht aufkommen lässt?

18.05.2012, 17:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dennis2010
Muss man das dann in der allgemeinen Theorie so schreiben:

$\begin{eqnarray*} P(1_A|1_B) \end{eqnarray*}$ ?

Naja, primär eher

$\begin{eqnarray*} P(A \bigm| B) := E(1_A \bigm| \sigma(B)) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \sigma(B)=\{\emptyset,B,B^c,\Omega\} \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} E(1_A \bigm| 1_B) \end{eqnarray*}$ ist dazu äquivalent.

EDIT: Allerdings stimmt das nicht ganz, richtigerweise muss man noch das "Argument" mit angeben - es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} E(1_A \bigm| \sigma(B))(\omega) = \begin{cases} P(A \bigm| B) & \;\mbox{für}\, \omega\in B \\ P(A \bigm| B^c) & \;\mbox{für}\, \omega\in B^c \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2012, 17:59

Gast11022013

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Dennis2010
Muss man das dann in der allgemeinen Theorie so schreiben:

$\begin{eqnarray*} P(1_A|1_B) \end{eqnarray*}$ ?

Aber $\begin{eqnarray*} E(1_A \bigm| 1_B) \end{eqnarray*}$ ist dazu äquivalent.

Einmal steckt der Informationsgehalt in der Unter-sigma-Algebra und einmal in der Zufallsvariablen (deren Informationsgehalt ja auch in einer Unter-sigma-Algebra steckt).
Daher die Äquivalenz?

Zitat:

EDIT: Allerdings stimmt das nicht ganz, richtigerweise muss man noch das "Argument" mit angeben - es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} E(1_A \bigm| \sigma(B))(\omega) = \begin{cases} P(A \bigm| B) & \;\mbox{für}\, \omega\in B \\ P(A \bigm| B^c) & \;\mbox{für}\, \omega\in B^c \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Wieso muss man das Argument mit angeben?

18.05.2012, 18:03

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} P(A \bigm| B) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} P(A \bigm| B^c) \end{eqnarray*}$ sind (nichtzufällige) Werte, während $\begin{eqnarray*} E(1_A \bigm| \sigma(B)) \end{eqnarray*}$ eine echte Zufallsgröße ist!

Genauso verhält es sich mit

$\begin{eqnarray*} E(X \bigm| Y) \end{eqnarray*}$ ... Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} E(X \bigm| Y=y) \end{eqnarray*}$ ... Wert

Verknüpft sind letztere beiden über

$\begin{eqnarray*} E(X \bigm| Y)(\omega) = E(X \bigm| Y=y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Y(\omega)=y \end{eqnarray*}$ .

18.05.2012, 18:06

Gast11022013

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Danke, dann noch eine letzte Frage.

Wieso kann man für A einfach die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ nehmen und für B die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} 1_B \end{eqnarray*}$ ?

Also ich weiß, daß man im allgemeinen Fall nur auf Unter-sigma-Algebren oder Zufallsvariablen bedingen darf, aber wieso darf man das einfach machen?!

18.05.2012, 18:10

HAL 9000

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Na es ist doch

$\begin{eqnarray*} E(1_A) = 1\cdot P(1_A=1) + 0\cdot P(1_A=0) = P(A) \end{eqnarray*}$ ,

dasselbe gilt dann auch, wenn jeweils noch eine Bedingung hinzukommt - das bedingte Verteilungsmaß ist ja auch nur ein spezielles W-Maß.

Und zum zweiten Teil: Das Urbild $\begin{eqnarray*} 1_B^{-1}(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ zu Borel-Sigmaalgebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ ist nun mal $\begin{eqnarray*} \sigma(B)=\{\emptyset,B,B^c,\Omega\} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2012, 18:13

Gast11022013

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Wenn $\begin{eqnarray*} E(X|Y) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße ist und man dann ein Argument anwendet, also $\begin{eqnarray*} E(X|Y)(w) \end{eqnarray*}$ , wieso wendet man dieses Argument dann nur auf Y an und nicht auf X?

Sorry, wenn ich so viel frage.

18.05.2012, 18:18

HAL 9000

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Holla, da offenbaren sich aber jetzt ganz grundsätzliche Verständnislöcher der bedingten Erwartung - ich dachte, du wärest weiter.

Als Start finde ich das hier

Bedingte Erwartungen (nur das P.S.)

eine brauchbare Erklärung, was man mit der bedingten Erwartung eigentlich beabsichtigt.

Und noch ein Beispiel: Der gewöhnliche Erwartungswert ist auch nur eine spezielle bedingte Erwartung, und zwar bzgl. der primitiven Sigma-Algebra, d.h.

$\begin{eqnarray*} E(X) = E(X \bigm| \{\emptyset,\Omega\}) \end{eqnarray*}$

Die Zufallsgröße rechts ist nun aber nicht wirklich zufällig, da sie für alle $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ denselben Wert ergibt. Du willst nun aber nicht im Ernst auch noch $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ von einzelnen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ abhängig machen? Augenzwinkern

18.05.2012, 18:31

Gast11022013

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Nee, will ich nicht, macht man ja beim "normalen" Erwartungswert auch nicht.

18.05.2012, 18:47

Gast11022013

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Und in dem obigen Beispiel müsste man dann jetzt noch $\begin{eqnarray*} E(1_A|1_B)(w) \end{eqnarray*}$ ausrechnen?

Die Formel kenne ich noch nicht so gut.. wie würde man das tun?

18.05.2012, 19:04

Gast11022013

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Ehrlich gesagt, habe ich noch nicht verstanden, wieso

$\begin{eqnarray*} E(1_A~|~\sigma(B))(\omega)=P(A~|~B) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in B \end{eqnarray*}$ .

In welchem Sinn ist $\begin{eqnarray*} E(1_A|\sigma(B)) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße?

Weil sich noch nicht entschieden hat, welche Menge aus $\begin{eqnarray*} \sigma(B) \end{eqnarray*}$ sich realisiert hat?

--------------

Ich habe versucht es nochmal aufzuschreiben.
Also hier meine "Zusammenfassung" von der ich gerne wüsste, ob sie okay ist.

In der elementaren Theorie berechnet man $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ und setzt voraus, dass $\begin{eqnarray*} P(B)>0 \end{eqnarray*}$ . In der abstrakten Theorie benötigt man diese Voraussetzung nicht (wenngleich sie im diskreten Fall angewandt werden kann und angewandt wird, denn da kann man in dem Fall, dass man auf ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 0 bedingt, auch die bedingte Erwartung einfach 0 sein lassen.), nutzt aus, dass $\begin{eqnarray*} P(A)=E(1_A) \end{eqnarray*}$ und betrachtet die Realisierungen der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} E(1_A~|~\sigma(B) \end{eqnarray*}$ , also:

$\begin{eqnarray*} E(1_A|\sigma(B))(\omega)=\begin{cases}P(A~|~B), & \mbox{falls }\omega\in B\\ P(A~|~B^{C}), & \mbox{falls }\omega\notin B<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} \sigma(B)=\left\{B,B^{C},\Omega,\emptyset\right\} \end{eqnarray*}$

(Es lässt sich die hier vorhandene Information (dass B eingetreten ist) auch mit Hilfe einer Zufallsvariable ausdrücken, nämlich durch die Indikatorfunktion mittels $\begin{eqnarray*} \mathcal{M}:=\left\{1_{B}^{-1}(C)~|~C\in\mathbb{B}(\mathbb{R})\right\}=\sigma(B) \end{eqnarray*}$ .)

Meine Frage bleibt: Wie berechnet man konkret jetzt $\begin{eqnarray*} E(1_A~|~\sigma(B))(w) \end{eqnarray*}$ ? Eigentlich müsste man hier ja bei der diskreten Berechnung landen, weil die Zufallsvariable auf die man hier bedingt (Indikatorfunktion von B) ja diskret ist, aber ich sehe das einfach nicht (wie hier aus dem allgemeinen Fall der diskrete folgt).

Bitte helfte mir, ich bin so durcheinander gerade. unglücklich

19.05.2012, 17:10

Gast11022013

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Zitat:

Original von saz
Zu deinen Fragen hinsichtlich der Verteilungen kann ich dir leider nicht helfen.

Zur Thematik diskret/stetig:

Die Unterscheidung bezieht sich tatsächlich auf die Zufallsvariable, auf die man bedingt. Man kann relativ leicht zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|\mathcal{H}) = \sum_{j \in \mathbb{N}} \mathbb{E}(X|B_j) \cdot 1_{B_j} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \mathcal{H} = \sigma(B_j; j \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \bigcup_j B_j = \Omega \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ disjunkt, $\begin{eqnarray*} X \in L^1 \end{eqnarray*}$ . Dabei ist

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|B_j) := \begin{cases} \frac{\mathbb{E}(X \cdot 1_{B_j})}{\mathbb{P}(B_j)} & \mathbb{P}(B_j)>0 \\ 0 & \mathbb{P}(B_j) = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das kann man natürlich entsprechend anwenden, wenn eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y: \Omega \to \{y_1,y_2,\ldots\} \end{eqnarray*}$ nur diskrete Werte annimmt, indem man dann die $\begin{eqnarray*} B_j := \{w \in \Omega; Y(w) = y_j\} \end{eqnarray*}$ setzt.
Du kannst jedoch nicht einfach annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(B_j)>0 \end{eqnarray*}$ gilt ... es gibt durchaus Zufallsvariablen, für die das nicht korrekt ist. Das wäre also eine zusätzliche Voraussetzung an Y. Ist allerdings in dem Fall unnötig - wie du geschrieben hast, ist die bedingte Erwartung dann einfach 0.
Und JA, das ganze funktioniert offenbar also tatsächlich nur, wenn Y diskrete Werte annimmt. Für alles weitere muss man sich etwas anderes ausdenken.

(Zur Notation: $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X|\mathcal{H}) \end{eqnarray*}$ ist die bedingte Erwartung von X gegeben $\begin{eqnarray*} \mathcal{H} \end{eqnarray*}$ .)

Folgende Fragen:

1.) Dies ist eine Konstruktion, die man also immer dann anwenden kann, wenn die bedingende ZV diskret ist? Wieso sagt man in vielen Quellen, daß man im diskreten Fall die elementare Definition von bedingtem Erwartungswert beibehalten kann: Denn dies hier ist doch etwas anders, weil man nicht mehr annehmen muss, daß $\begin{eqnarray*} P(B_j)>0 \end{eqnarray*}$ . So, wie ich das verstehe, kann $\begin{eqnarray*} P(B_j) \end{eqnarray*}$ bei dieser Definition ruhig 0 sein, dann hat der Erwartungswert eben einen beliebig gewählten konstanten Wert, z.B. 0.

2.) Könnte man auch sagen, der Erwartungswert soll z.B. 5 sein, wenn $\begin{eqnarray*} P(B_j)=0 \end{eqnarray*}$ ?

3.) Wie verfährt man denn, wenn die bedingende ZV stetig ist, kann man da auch sowas Generelles herleiten? Was "denkt man sich da aus"?

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