Volumen von Rotationskörpern

16.05.2012, 17:11

Lk-Mathe

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Volumen von Rotationskörpern

Meine Frage:
Hallo smile

smile

Ich muss das Volumen eines Rotationskörpers berechnen, aber irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis..

Also ich habe eine Hyperbelgleichung, die einen "Kühlturm" mit einer Höhe von 30m darstellt. Der engste Durchmesser beträgt 12m und der Durchmesser "am Boden" ist 24m. Der Scheitelpunkt befindet sich 5m tiefer als der höchste Punkt des Kühlturms.
Ich habe schon die Gleichung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{3*y^{2}}{625} \end{eqnarray*}$

Die Wertemenge geht halt nur von -25 bis 5, weil der Kühlturm ja nur 30m hoch ist..

Ich weiß, dass die Volumengleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} V_{y}=\pi *(\int_a^b \! g(y)^{2} \, dx \end{eqnarray*}$

Es ist eine Rotation um die y-Achse.
g(y) ist doch die Umkehrfunktion..

Jetzt würde ich eig. meine Hyperbelgleichung nach x^2 umstellen und müsste doch dann die Gleichung, die ich als Ergebnis habe, nur noch bei g(y) einsetzen und müsste auch nicht mehr quadrieren, oder?
Und was muss ich als Intervallgrenzen angeben?

Meine Ideen:

16.05.2012, 17:24

Dopap

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RE: Volumen von Rotationskörpern

Zitat:

Original von Lk-Mathe
Ich habe schon die Gleichung aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{3*y^{2}}{625} \end{eqnarray*}$

Ich sehe keine Gleichung verwirrt

verwirrt

16.05.2012, 17:32

Lk-Mathe

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RE: Volumen von Rotationskörpern
Also da habe ich in die allg. Hyperbelgleichung mein a und mein b eingesetzt..

Mein Lehrer meinte, dass ich das nun nach x^2 umstellen soll, damit ich das dann in V_y einsetzen kann..

Wenn ich das nach x^2 umstelle, habe ich:

$\begin{eqnarray*} x^{2} = \frac{36*(3*y^{2}+625)}{625} \end{eqnarray*}$

16.05.2012, 18:37

Dopap

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RE: Volumen von Rotationskörpern
dewegen ist $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{6^{2}}-\frac{3*y^{2}}{625} \end{eqnarray*}$
immer noch keine Gleichung. Hier fehlt noch =k
mit k>0

Zitat:

Original von Lk-Mathe

$\begin{eqnarray*} x^{2} = \frac{36*(3*y^{2}+625)}{625} \end{eqnarray*}$

Das sieht schon besser aus, nehmen wir es als gegeben.

$\begin{eqnarray*} V_y=\pi \int_{y=a}^{y=b} x^2\, \dd y \end{eqnarray*}$

ist das Volumem um die y-Achse. Auf das Quadrat der Umkehrfunktion kannst du verzichten.
Das Integral darf nur y enthalten, das x^2 muss weg, aber wie erstaunlich, oben steht ja zufällig x^2=...

16.05.2012, 18:39

Lk-Mathe

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RE: Volumen von Rotationskörpern
So habe ich das auch bis jetzt gemacht.. Aber was gebe ich jetzt als Intervallgrenzen an?

16.05.2012, 18:43

Nubler

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RE: Volumen von Rotationskörpern
wegen der rotationssymmetrie sind zylinderkoordinaten praktisch:

$\begin{eqnarray*} dV=rdrd\varphi dh \end{eqnarray*}$

das volumen ist dann einfach das integral darüber, also

$\begin{eqnarray*} V=\int\limits_Vrdrd\varphi dh \end{eqnarray*}$

etz musst du dir noch gedanken um die grenzen machen, also von wo bis wo integriert werden soll

du hast eine hyperbel der form:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= 1 \end{eqnarray*}$

da ist keine $\begin{eqnarray*} \varphi- \end{eqnarray*}$ abhängigkeit drin, also kannst du dieses integral sofort ausführen.
einmal um den kreis gibt fann den faktor $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

nun zu den letzten beiden verbleibenden:

obige abbildung generiert 2 hyperbeläste, die beide rotieren und jeweils den gleichen rotationskörper generieren. man kann somit einen ast einfach ignorieren und sagen ich nehm nur den ast für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ und lass diesen rotieren.

wenn manr die hyperbel plottet, sieht man, dass x(y) eine funktion ist, y(x) aber nicht.
übertragen bedeutet dies:

r(h) ist eine funktion, h(r) nicht

die r-integration startet also bei r=0 und geht bis r=r(h)

meine h-integration geht anschließend einfach von $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ ("unteres ende") bis $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ ( "oberes ende")

dein integral ist somit:

$\begin{eqnarray*} V=\int\limits_{h_0}^{h_1}\int\limits_{0}^{r(h)}\int\limits_{0}^{2\pi} d \varphi r dr dh \end{eqnarray*}$

die $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -integration liefert lediglich den faktor $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , da keine winkelabhängigkeit vorhanden ist

du weisst, dass du eine hyperbel hast, es gilt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{r^2}{a^2}-\frac{h^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

damit wird dein $\begin{eqnarray*} r(h)=a\sqrt{1+\frac{h^2}{b^2}} \end{eqnarray*}$

und dein integral zu

$\begin{eqnarray*} V=2\pi\int\limits_{h_0}^{h_1}\left(\int\limits_{0}^{a\sqrt{1+\frac{h^2}{b^2}}} rdr \right)dh \end{eqnarray*}$

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16.05.2012, 19:03

Dopap

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wenn ich mich täusche sollte doch b=5 sein.
für a soll gelten: f(12)=a
wenn f der Hyperbelast im 1.Quadranten ist.
Das ist zwar zeichnerisch falsch, aber wegen Symmetrien auch dann im Negativen verwendbar.

-------------------------------
@nubler: ob das einfacher ist verwirrt

verwirrt

16.05.2012, 19:08

Lk-Mathe

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Ähm.. also b war mir nicht vorgegeben..
Ich habe für x=12 und für y=-25 eingesetzt und dann das b ermittelt

und was meinst du mit f(12)=a ?

Hast du verstanden, wie die Figur ins Koordinatensystem gesetzt wird?
Oder vielleicht verstehe ich auch nicht, was du im letzten Teil meinst ^^

16.05.2012, 19:25

Dopap

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RE: Volumen von Rotationskörpern

Zitat:

Original von Lk-Mathe
... Scheitelpunkt befindet sich 5m tiefer als der höchste Punkt des Kühlturms.

--> b = 5

wenn
$\begin{eqnarray*} wenn f(x)=\frac{25}{18}\sqrt 3 \sqrt {x^2-36} \end{eqnarray*}$

der Ast im 1 Quadranten, und

Und jetzt $\begin{eqnarray*} x=12 \rightarrow y_a \end{eqnarray*}$

und das ins Negative $\begin{eqnarray*} a=-y_a \end{eqnarray*}$

ich hoffe, du machst auch vernünftige Skizzen.

16.05.2012, 19:43

Lk-Mathe

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RE: Volumen von Rotationskörpern
Wie kommst du auf f(x).. das verstehe ich nicht so genau..

Ich lade mal meine Skizze mit hoch..

[attach]24519[/attach]

16.05.2012, 20:09

Dopap

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typischer Fall von Buchstabensalat.

Wir sind nun auf demselben Stand, nur könnte das a doppelt aufgetreten sein:
1.) als untere Grenze des Integrals
2.) als Achse in der Hyperbelgleichung.

Jetzt fasse nochmal alle gefundenen Werte eindeutig zusammen, wenn nötig mit eindeutigen Bezeichnern.

16.05.2012, 20:19

Lk-Mathe

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Jetzt komme ich aber wirklich durcheinander ^^

Ich hatte meine Gleichung:

x^2=...

Und wie genau mache ich nun weiter?

Was ist dein f(x)? Wie kommst du darauf?

16.05.2012, 20:57

Dopap

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RE: Volumen von Rotationskörpern

Zitat:

Original von Dopap
wenn
$\begin{eqnarray*} wenn f(x)=\frac{25}{18}\sqrt 3 \sqrt {x^2-36} \end{eqnarray*}$

der Ast im 1 Quadranten

das nimm mal als Fakt ( einer Umformung )

Ausserdem hast du zuviele Threads am laufen...

Und Multitasking ist nicht gut für das Gehirn.

16.05.2012, 21:02

Lk-Mathe

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RE: Volumen von Rotationskörpern
Jaa Big Laugh

Big Laugh

aber ich habe so viele Aufgaben zu erledigen.. Wenn ich bei einer nicht weiterkomme, dann mache ich bei der anderen weiter ^^'

Hmm.. ich würde gerne wisse, wie du zu dieser Umformung gekommen bist..
Und was hast du denn zu dieser Gleichung umgeformt? Das x^2=..?

Ich brauch das Schritt für Schritt, sonst verstehe ich das irgendwie nicht.. ^^'

Was genau mache ich jetzt, wenn ich mein x2=... ermittelt habe?
Ich dachte ich müsste das jetzt einfach in die Volumengleichung einsetzen..

16.05.2012, 21:06

Dopap

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ja,ja dann setz es endlich mit den richtigen Grenzen ein

$\begin{eqnarray*} V_y=\pi \int_{-25}^{5} x^2 \, \dd y \end{eqnarray*}$

16.05.2012, 21:13

Lk-Mathe

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Also wenn ich das jetzt so eingebe, dann habe ich 6242,97 m^3
Stimmt das so?

16.05.2012, 21:43

Dopap

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das ist auch mein Ergebnis!

16.05.2012, 21:44

Lk-Mathe

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Juhuu endlich nach 2 Tagen Big Laugh

Big Laugh

(sitze schon seit gestern dran ^^')

Vieleen Dank für deine Geduld und große Hilfee Augenzwinkern

Augenzwinkern

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