Berechne den Grenzwert

16.05.2012, 19:44

Andy2203

Berechne den Grenzwert

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} a*b \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie den Grenzwert!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[a]{x}-\sqrt[ b ]{x} }{x^{a}-x^{b} } \end{eqnarray*}$

Das soll zum warm werden sein Big Laugh

Meine Ideen:
Ich weiß jetzt schon garnicht was ich machen muss! ICh könnte den Zähler als Potenz schreiben aber bringt mir das etwas?

16.05.2012, 19:55

speedyschmidt

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Es bietet sich der Satz von L'Hospital an.

16.05.2012, 20:02

original

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RE: Berechne den Grenzwert

Zitat:

Original von Andy2203
Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} a*b \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ Berechnen Sie den Grenzwert!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[a]{x}-\sqrt[ b ]{x} }{x^{a}-x^{b} } \end{eqnarray*}$

Das soll zum warm werden sein smile

ICh könnte den Zähler als Potenz schreiben aber bringt mir das etwas?

ICh könnte den Zähler als Potenz schreiben - echt ? -mach das mal vor...

aber dann kommst du vielleicht in die Heilanstalt und wie findest du dann dies? ->
de l'Hospital?
.

sorry, zu spät Wink

16.05.2012, 20:20

Andy2203

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RE: Berechne den Grenzwert
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{a} }- x^{\frac{1}{b} } \end{eqnarray*}$ aber bringt mir nichts. Den Satz von Hospital oder wie das dingen heißt hatte ich noch nie

16.05.2012, 20:21

Che Netzer

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Edit: Unsinn. Habe $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^a} \end{eqnarray*}$ gelesen smile

16.05.2012, 20:30

original

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RE: Berechne den Grenzwert

Zitat:

Original von Andy2203
Den Satz von Hospital oder wie das dingen heißt hatte ich noch nie

nie?
irgendwann iat alles zum ersten Mal ..

Tipp: schlag doch einfach mal zum Stichwort nach Wink

16.05.2012, 20:34

speedyschmidt

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RE: Berechne den Grenzwert

Zitat:

Original von Andy2203
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{a} }- x^{\frac{1}{b} } \end{eqnarray*}$ aber bringt mir nichts. Den Satz von Hospital oder wie das dingen heißt hatte ich noch nie

Dann fällt mir im Augenblick nichts besseres ein, als den Satz zu beweisen und dann zu verwenden:

http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

16.05.2012, 21:09

Valdas Ivanauskas

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RE: Berechne den Grenzwert
Wenn's ohne L'Hospital laufen soll, dann solltest Du den zu betrachtenden Ausdruck so umschreiben, dass Du ihn als Produkt von Differenzenquotienten, die jeweils gegen wohlbekannte Ableitungen konvergieren, auffassen kannst.

Betrachte also

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[a]{x}-\sqrt[b]{x}}{x^a-x^b}=\left( \frac{\sqrt[a]{x}-1}{x-1}-\frac{\sqrt[b]{x}-1}{x-1}\right)\cdot\frac 1{\frac{x^a-1}{x-1}-\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 11:10

Andy2203

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RE: Berechne den Grenzwert
Ich komme da auf keinen grünen Zweig. Diese Vorraussetzungen irritieren mich schon.
Für a und b kann ich ja unendlich viele Zahlen einsetzen. Ich weiß auch garnicht welche von beiden größer ist. Gibt es dann noch eine Fallunterscheidung?

17.05.2012, 12:13

Mystic

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RE: Berechne den Grenzwert
Wie wär's damit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac {\sqrt[a]x-\sqrt[b]x}{x^a-x^b}=\lim_{x \to 0} \frac {\sqrt[a]{1+x}-\sqrt[b]{1+x}}{(1+x)^a-(1+x)^b}=\lim_{x \to 0} \frac {(1+\frac xa+o(x))-(1+\frac xb+o(x))}{(1+ax+o(x))-(1+bx+o(x))}=\ldots \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 12:41

Leopold

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Bei so vielen Alternativen hätte ich auch noch eine anzubieten. Man klammert im Zähler $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{b}} \end{eqnarray*}$ und im Nenner $\begin{eqnarray*} x^a \end{eqnarray*}$ aus und erhält

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[a]{x} - \sqrt[b]{x}}{x^a - x^b} = - x^{\frac{1 - ab}{b}} \cdot \frac{t^{\frac{1}{ab}} - 1}{t - 1} \ \ \text{mit} \ \ t = x^{b-a} \end{eqnarray*}$

Im letzten Produkt strebt der erste Faktor gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ . Und der zweite ist ein Differenzenquotient. Für $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} t \to 1 \end{eqnarray*}$ .

17.05.2012, 12:51

Valdas Ivanauskas

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RE: Berechne den Grenzwert

Zitat:

Original von Andy2203
Ich komme da auf keinen grünen Zweig. Diese Vorraussetzungen irritieren mich schon.

Welche Voraussetzungen?

Zitat:

Original von Andy2203
Für a und b kann ich ja unendlich viele Zahlen einsetzen.

Sicherlich, aber wozu sollte das gut sein?

Zitat:

Original von Andy2203
Ich weiß auch garnicht welche von beiden größer ist.

Das macht nix, denn das ist total egal.

Zitat:

Original von Andy2203
Gibt es dann noch eine Fallunterscheidung?

Nein!

Offenbar hat's noch nicht so richtig geklickt, was angesichts der Tipps schade ist.

Also, für $\begin{eqnarray*} f_r(x):=x^r \end{eqnarray*}$ hat man

$\begin{eqnarray*} r=f'_r(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f_r(x)-f_r(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^r-1}{x-1}. \end{eqnarray*}$

18.05.2012, 16:40

Andy2203

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Der Grenzwert lautet $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ wieso auch immer ich da drauf komme Big Laugh

18.05.2012, 16:47

Mystic

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Zitat:

Original von Andy2203
Der Grenzwert lautet $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{ab} \end{eqnarray*}$ wieso auch immer ich da drauf komme Big Laugh

Ich finde es echt gemein, dass du uns über deinen endgültigen Lösungsweg im Dunkeln lässt, nachdem wir uns alle hier so ins Zeug gelegt haben... geschockt

18.05.2012, 18:40

Integralos

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Ich vermute er hats über l'hôspital gemacht da ist es ein Zweizeiler

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