Aufteilung des Preisgeldes

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Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufteilung des Preisgeldes
Zwei Spieler treten bei gleicher Spielstärke gegeneinander an. Wer zuerst 4 Sätze gewinnt, erhält 1000 Euro Preisgeld.

Beim Spielstand von 3:1 wird die Partie wegen Regen abgebrochen. Wie ist das Preisgeld gerecht aufzuteilen?

1. Lösung: 3/4 zu 1/4 (wegen des Spielstandes 3:1 - das ist nicht überzeugend).

2. Lösung: 7/8 zu 1/8 (da der erste Spieler mit der Wahrscheinlichkeit 7/8 gewinnen wird - das erscheint mir einleuchtend)

3. Lösung 5/6 zu 1/6 (dies wurde von Leibnitz so vorgeschlagen ... und ich habe keine Ahnung wie er darauf kommt).

Kann mir jemand sagen, nach welchem Verfahren Leibnitz die Aufteilung ermittelt hat?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufteilung des Preisgeldes
Male dir mal ein Baumdiagramm über den weiteren Verlauf der Spiele
 
 
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Baumdiagramm gibt es 6 mögliche Spielstände: 4:1, 4:2, 4:3, 3:2, 3:3 und 3:4

Aber es gibt doch nur 4 mögliche Endergebnisse: 4:1, 4:2, 4:3, und 3:4

Also so richtig verstehe ich die Argumentation von Leibnitz nach wie vor nicht!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

3:2 und 3:3 sind keine Entstände. Das Spiel endet erst, wenn einer der Spieler 4 Sätze gewonnen hat.
Wäre gut, das Baumdiagramm mal zu sehen. Liste mal alle möglichen Endstände auf und zähle, bei wie vielen der erste Spieler gewinnt.

PS: Die zweite Lösung erscheint mir am gerechtesten.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Einfacher ist es, die Wahrscheinlichkeit der einzigen Variante zu berechnen, bei der der zurückliegende Spieler gewinnt. Der muss ja 3 mal hintereinander gewinnen.
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, 3:2 und 3:3 sind SPIELstände und keine ENDstände. Das hab ich doch auch geschrieben.

Das Baumdiagram ist doch auch ganz naheliegend. Ich hab es mal als Anhang hochgeladen.

Ich frage mich nach wie vor, nach welchem Verfahren Leibnitz zu der Aufteilung 5/6 zu 1/6 gelangt.
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

@huggy

Die Gewinnwahrscheinlichkeit für B beträgt 1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8. Und für A damit 7/8.

Die Aufteilung des Preisgeldes nach diesem Verhältnis ist für mich einleuchtend.

Gottfried Willhelm Leibnitz hat aber eine Aufteilung im Verhältnis 1/6 zu 5/6 vorgeschlagen. Das kann man etwa nachlesen im Schulbuch

Mathematik Stochastik, Cornelsen Verlag 2005, Seite 22

Und genau darum geht es. Wie kommt Leibnitz zu dieser Aufteilung!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das Buch habe ich nicht. Ich habe auch keine Ahnung, wie Leibniz darauf kommt. Jedenfalls erscheint auch mir die Aufteilung im Verhältnis der Gewinnwahrscheinlichkeiten am gerechtesten.

Gibt es in dem Buch irgendeinen Hinweis?
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Die genannten Aufteilungen werden im Rahmen einer Aufgabe genannt.

Und im letzten Aufgabenteil wird dann gefragt, was die Mathematiker zu ihrer Lösung geführt haben könnte.

Es gibt also leider keinen Hinweis. Aber ich glaube, das o.a. Problem ist recht bekannt in der Mathematik!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist immer wieder interessant, ein wenig Ahnenforschung zu betreiben.

Sei k die Zahl der Siege bis zum Gesamtgewinn und a:b der Spielstand bei Abbruch mit a >= b. Leibniz hat es als gerecht angesehen, den Gewinn dann im Verhältnis



aufzuteilen. Dabei soll er von dem Prinzip ausgegangen sein, jeder Gewinnpunkt über den Gleichstand a = b hinaus solle den gleichen Gewinnzuwachs erbringen. Dieses Prinzip ist in obiger Formel schwer zu erkennen. Es wird aber transparent, wenn man daraus den Gewinnanteil für jeden Spieler bestimmt. Es ergibt sich



für den führenden Spieler und



für den zurückliegenden Spieler.
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das war genau die Antwort, die ich gesucht hatte. Danke!

Also nur um zu sehen, dass ich es richtig verstanden habe. In unserem Fall ist k=4, a=3 und b = 1

Bis zum Gleichstand haben beide Spieler den Anteil 1/2 erworben.

Nach Gleichstand wurden noch a - b = 2 Partien vom Führenden gewonnen.

Insgesamt sind nach Gleichstand k - b = 3 Siege notwendig, um zu gewinnen.

Der erreichte Gewinnanteil für die Spiele nach Gleichstand beträgt also (a - b) / (k - b) = 2/3

Dieser wir nun dem führenden Spieler zur Hälfte zugeschlagen und dem anderen Spieler zur Hälfte abgezogen.

Anteil führender Spieler = 1/2 + 1/2 * 2/3 = 5/6
Anteil anderer Spieler = 1/2 - 1/2 * 2/3 = 1/6

Wenn man es allgemein durchrechnet, ergibt sich die von dir genannte Formel.

Freude
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du richtig verstanden. Es spielte lediglich für Leibniz keine Rolle, in welcher Reihenfolge der Gewinne/Verluste der Spielstand von a:b erreicht wurde.

Nun muss ich dich aber fragen, hättest du diese Internetrecherche nicht auch selber machen können? Mein einziger eigener Beitrag ist die Umrechnung des Verhältnisses in Anteile.
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar hab ich im Internet recherchiert. Ich hab herausgefunden, dass es sich um das "Teilungsproblem" (oder auch das Problem der "höheren Gewalt") handelt. Und dass es sich neben dem "Würfelproblem" um die zwei Fragestellungen handelt, die lange Zeit diskutiert wurden und deren Lösung die moderne Stochastik begründet hat.

Das Teilungsproblem ist wohl sehr viel älter als das Würfelproblem und wurde bereits im Mittelalter mit Verhältniszahlen beantwortet ... daher die Aufteilung 3:1 .... während Fermat und Pacal dann die Wahrscheinlichkeiten herangezogen haben.

All dies findet man in zahlreichen Quellen. Lediglich zum Ansatz vom Leibnitz hab ich auch nach langem Suchen nichts gefunden. Vielleicht kannst du mir deine Quelle nennen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pik 7
Lediglich zum Ansatz vom Leibnitz hab ich auch nach langem Suchen nichts gefunden. Vielleicht kannst du mir deine Quelle nennen.

http://stochastik-in-der-schule.de/sison...99-3_wirths.pdf

http://books.google.de/books?id=2vTmU6Mt...leibniz&f=false
Pik 7 Auf diesen Beitrag antworten »

Supi .... nochmals recht herzlichen Dank!
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