Zwischenwertsatz von differenzierbaren Funktionen

16.05.2012, 22:29	domac	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz von differenzierbaren Funktionen Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe und hoffe auf einen Tipp, der mir vielleicht weiterhilft. Sei $\begin{eqnarray} f : I \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine im Intervall $\begin{eqnarray} I \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray}$ differenzierbare Funktion. Für $\begin{eqnarray} f' : I \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt: Ist für $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \in I \text{ und } c \in \mathbb{R} : f'(x_1) < c < f'(x_2) \text{, so existiert ein } \gamma \in I \text{ mit } f'(\gamma) = c. \end{eqnarray}$ Als Hinweis soll man eine Hilfsfunktion betrachten: $\begin{eqnarray} g_y(x):=\frac{f(x)-f(y)}{x-y} \text{, mit } x,y \in I. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Absolut keine Idee im Moment, wenn noch was kommt, dann schreie ich. Bitte keine Lösung posten! Danke. Schon einmal vielen Dank für die Hilfe!
17.05.2012, 07:25	domac	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz von differenzierbaren Funktionen Also, ich bin's nochmal. Bei der Aufgabe hier soll man wohl mit dem Zwischenwertsatz arbeiten, was ich sehr merkwürdig finde, aber na gut. Ich hätte jetzt erstmal meine Funktion $\begin{eqnarray} g_y(x) \end{eqnarray}$ verwendet und in die obige Ungleichung eingesetzt. Dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{f(x_1)-f(y)}{x_1 - y} < c < \frac{f(x_2)-f(y)}{x_2 - y} \end{eqnarray}$ . Bin ich damit auf dem richtigem Weg oder nutze ich die Hilfsfunktion hier falsch?
17.05.2012, 07:57	domac	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, habe meine Idee mal verfolgt. Jetzt könnte ich, nachdem ich (hoffentlich) $\begin{eqnarray} g_y(x) \end{eqnarray}$ (richtig) angewandt habe. Den ZWS benutzen in der Ungleichung $\begin{eqnarray} g_y(x_1) < c < g_y(x_2) \end{eqnarray}$ und erhalte dann dank dem ZWS $\begin{eqnarray} g_y(x_1) < g_y(\gamma) < g_y(x_2) \end{eqnarray}$ und kann das dann wieder in die Form $\begin{eqnarray} f'(x_1) < f'(\gamma) < f'(x_2) \end{eqnarray}$ bringen und wäre doch dann damit fertig? Also grundsätzlich fehlt hier noch die Argumentation, aber wäre das denn überhaupt der richtige Pfad, den ich da entlang gehe? Würde mich über Feedback freuen. Gruß. PS.:
17.05.2012, 15:37	domac	Auf diesen Beitrag antworten »
push Ich würde mich immernoch über Feedback freuen! :-)
18.05.2012, 17:31	domac	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte mir bitte jemand weiterhelfen? :-( Danke!
22.05.2012, 14:21	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich pushe den Beitrag einfach mal, da ich auch an dessen Lösung interessiert bin.
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