Vektoranalysis - Rotation,Gradient

16.05.2012, 23:27

Traumtänzerin

Vektoranalysis - Rotation,Gradient

Meine Frage:

Zeige das gilt

$\begin{eqnarray*} rot(fF) = grad(f) \times F + f\cdot rot(f) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} grad(f) \times F + f\cdot rot(f) = \begin{pmatrix} d_2F_3(f_1+f_2) & d_3F_2(f_1+f_3) \\ d_3F_1(f_2+f_3) & d_1F_3(f_2+f_1) & \\ d_1F_2(f_3+f_1) & d_2F_1(f_3+f_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei d hier für dieses Delta steht, dass habe ich nicht darstellen können.
Und ich, um mir die Schreibweise zu verkürzen, gesetzt habe :

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx_i} = d_i \end{eqnarray*}$

Die Zwischenschritte habe ich hier erstmal weggelassen, weil ich dass jetzt so oft nachgerechnet habe, dass ich glaube, der Fehler liegt auf der anderen Seite.

Die kann ich nicht wirklich berechnen.
Ich scheitere daran, dass ich entwerder

$\begin{eqnarray*} rot(fF) = rot( f_1F_1 + f_2F_2 + f_3F_3) \end{eqnarray*}$

rechnen will, wodurch ich beim Kreuzprodukt Probleme bekomme, oder aber

$\begin{eqnarray*} rot(fF) = rot( f_1F_1 , f_2F_2 , f_3F_3) \end{eqnarray*}$

womit ich dann aber wiederum nicht auf das gewünschte Ergebinis komme.

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
ich wollte schon die Regel für den Gradienten anwenden, also

$\begin{eqnarray*} grad(fF) = f\cdot grad(F) + F\cdot grad(f) \end{eqnarray*}$

das ershceint mir aber eher abwegig..

Danke schonmal smile

17.05.2012, 00:46

Mathewolf

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Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ein Vektorfeld und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Skalarfeld sein soll.

Zu zeigen wäre dann wohl eher

$\begin{eqnarray*} \nabla\times(fF) = (\nabla f)\times F + f(\nabla\times F) \end{eqnarray*}$

Es seien

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1}=:f_1' \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_2}=:f_2' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_3}=:f_3' \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \nabla f=\begin{pmatrix} f_1' \\ f_2' \\ f_3' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sei ferner

$\begin{eqnarray*} F:=\begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt

$\begin{eqnarray*} fF=\begin{pmatrix} fF_1 \\ fF_2 \\ fF_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit versuch mal zu arbeiten.

Zitat:

ich wollte schon die Regel für den Gradienten anwenden, also $\begin{eqnarray*} grad(fF) = f\cdot grad(F) + F\cdot grad(f) \end{eqnarray*}$ das ershceint mir aber eher abwegig..

Ist es auch. Der Gradient ist nur auf Skalarfelder definiert. Die Regel gilt für Produkte aus Skalarfeldern.

17.05.2012, 00:58

Traumtänzerin

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Oh, ja sorry, das hab ich unterschlagen.. Ups

Zitat:

Zu zeigen wäre dann wohl eher
$\begin{eqnarray*} \nabla\times(fF) = (\nabla f)\times F + f(\nabla\times F) \end{eqnarray*}$

Das ist doch gerade das, was ich zeigen soll, nur mit Operatoren ausgedrückt ? Wieso dann "wohl eher" ?

Und genau das alles habe ich doch auch gemacht ?
Die rechte Seite deiner Gleichung habe ich versucht zu berechnen
Ist die denn falsch? Außer, dass ich jetzt deine Bezeichnungen noch übernehmen könnte. Ich hatte genau die Operatoren darauf angewendet, die du beschrieben hast..

Okay gut, also ist (fF) immer noch ein Vektor, .. aber wenn ich darauf jetzt das Kreuzprodukt anwende, bekomme ich eben nicht den selben Ausdruck wie auf der rechten Seite ..

17.05.2012, 13:06

Mathewolf

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$\begin{eqnarray*} \nabla\times(fF) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}fF_1 \\ fF_2 \\ fF_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 13:12

Traumtänzerin

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$\begin{eqnarray*} f(\nabla\times F)=\begin{pmatrix} f \\ f \\ f \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \partial_2F_3 - \partial_3F_2 \\ \partial_3F_1 - \partial_1F_3 \\ \partial_1F_2 - \partial_2F_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1\partial_2F_3 - f_1\partial_3F_2 + f_2\partial_2F_3 - f_2\partial_3F_2 + f_3\partial_2F_3 - f_3\partial_3F_2\\ ... \\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die anderen Zeilen habe ich analog gebildet.
Wenn das richtig wäre, sind es die anderen (vom Weg her, Rechenfehler nicht ausgeschlossen) auch.

$\begin{eqnarray*} (\nabla f)\times F = \begin{pmatrix} f_1' \\ f_2' \\ f_3' \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_2'F_3 - f_3'F_2 \\ f_3'F_1 - f_1'F_3 \\ f_1'F_2 - f_2'F_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, wenn ich jetzt aber die linke Seite bilde, bleibt mir ein Rest übrig. Ich bilde hier wieder erstmal nur die erste Zeile.

$\begin{eqnarray*} \nabla\times(fF) = \begin{pmatrix} f\partial_2F_3 + \partial_2f_1F_3 + f_2'F_3 + \partial_2f_3F_3 + f\partial_3F_2 - \partial_3f_1F_2 - \partial_3f_2F_2 - f_3'F_2\\ \left(...\right) \\ \left(...\right) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Rest bleibt mir jetzt in der ersten Zeile ( und analog in der 2te und 3ten.) :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \partial_2f_1F_3 + \partial_2f_3F_3 - \partial_3f_1F_2 - \partial_3f_2F_2 \\ ... \\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab deine Schreibweise übernommen, allerdings bleiben ja immer noch Ausdrücke mit Delta stehen, deswegen ist meine auch noch dabei.

______________

Edit:
Habe deinen Beitrag gerade gesehen, aber ich denke, dass habe ich gemacht.

Also die Rechnung so ausgeführt.

17.05.2012, 20:46

Mathewolf

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Ich habe das mal durchgerechnet. Und da bleibt nichts übrig.

$\begin{eqnarray*} \nabla\times(fF) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3} \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} fF_1 \\ fF_2 \\ fF_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_2}(fF_3)-\frac{\partial}{\partial x_3}(fF_2) \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_2}fF_3+f\,\frac{\partial}{\partial x_2}F_3 -\frac{\partial}{\partial x_3}f\,F_2-f\frac{\partial}{\partial x_3}\,F_2 \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_2}fF_3-\frac{\partial}{\partial x_3}f\,F_2 + f\,\frac{\partial}{\partial x_2}F_3 -f\frac{\partial}{\partial x_3}\,F_2 \\ \dots \\ \dots \end{pmatrix} = (\nabla f)\times F+f(\nabla\times F) \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 22:13

Traumtänzerin

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Mhh.
Okay, ja, das kann ich soweit im Grunde nachvollziehen.

Das Problem, dass ich hatte war gerade, dass ich

$\begin{eqnarray*} \nabla f=\begin{pmatrix} f_1' \\ f_2' \\ f_3' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausgeschrieben hatte.

Dadurch hatte ich dann auch einer Seite mehr als auf der anderen. Durch die "kleine Einteilung" statt nur f eben f_1, f_2, f_3.

Aber wnen du sagst, so geht das auch, nach vertrau ich dem Mal.

Danke. smile

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