spezielle orthogonale Gruppe

17.05.2012, 13:21	Fred85	Auf diesen Beitrag antworten »
spezielle orthogonale Gruppe Meine Frage: He Leutz! Ich habe die folgende Matrix: $\begin{eqnarray} A_{x} = \frac{1}{1+x+x^{2}} \begin{pmatrix} -x & x+x^{2} & 1+x^{2} \\ 1+x^{2} & -x & x+x^{2} \\ x+x^{2} & 1+x^{2} & -x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 1. Zeige: für jedes x Element R gilt $\begin{eqnarray} A_{x} \end{eqnarray}$ Element $\begin{eqnarray} SO_{3} \end{eqnarray}$ . 2. Für jedes x\ $\begin{eqnarray} \left\{ -1,1\right\} \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} g_{x} \end{eqnarray}$ Element $\begin{eqnarray} O_{3} \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} \alpha_{x} \end{eqnarray}$ Element $\begin{eqnarray} \left(0,\pi \right) \cup \left(\pi,2\pi\right) \end{eqnarray}$ , so dass: $\begin{eqnarray} g_{x} A_{x} g_{x}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha_{x} & -sin \alpha_{x} \\ 0 & sin \alpha_{x} & cos \alpha_{x} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu 1) Für die Elemente der $\begin{eqnarray} SO_{3} \end{eqnarray}$ gilt ja: detA = 1. Daher dachte ich, die Determinante der Klammer auszurechnen und wenn die dann dem Nenner des Vorfaktors entspricht, wäre sie 1 für alle x. Kommt bei mir aber mit Laplace nicht raus. Habe ich mich verrechnet oder ist die Idee falsch? zu 2) Orthogonale Gruppe: $\begin{eqnarray} A^{T}A=E \end{eqnarray}$ Da dachte ich, ich nehme zunächst nur die Drehmatrix unten rechts, versuche irgendwie von der allg. Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aussagen über cos und sin zu treffen. Vielleicht könnte ich die Matrix dann danach zu einer Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha_{x} & -sin \alpha_{x} \\ 0 & sin \alpha_{x} & cos \alpha_{x} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erweitern und wieder mit Laplace arbeiten. Allerdings habe ich ja dann nichts bezüglich der Diagonalisierung gezeigt.
18.05.2012, 21:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: spezielle orthogonale Gruppe Hi Fred, Zu 1): Also Wolfram Alpha gibt Dir recht. Man sieht auch mit der Sarrus-Regel ganz schnell, dass die Determinante der Matrix (ohne Vorfaktor) ein Polynom vom Grad 6 in x ist. Da kann also an der Aufgabenstellung etwas nicht stimmen. (Vorzeichenfehler?) Zu 2): Es ist nicht schwer zu zeigen, dass eine Matrix aus $\begin{eqnarray} SO_3 \end{eqnarray}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 haben muss. Und dann fehlt auch nicht mehr viel, um zu zeigen, dass eine Matrix aus $\begin{eqnarray} SO_3 \end{eqnarray}$ zur angegebenen Form ähnlich ist. Konkret rechnen muss man eigentlich nur für die Aussage: $\begin{eqnarray} x\in\{1,-1\}\Leftrightarrow \alpha_x\in\{k\cdot \pi\|k\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
19.05.2012, 15:26	Fred85	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Reksilat, vielen Dank für deine Antwort. Die Aufgabe 1 habe ich hinbekommen. Die Aufgabenstellung war richtig, hatte mich nur verrechnet. Bei der 2 komme ich aber immernoch nicht weiter. Meinst du, ich soll so ansetzen, wie ich vorgeschlagen habe und dann zeigen, dass lambda = 1 ist? Was meinst du mit "ähnlich"? Außerdem soll das x Element R ohne {1,-1} sein, das hab ich vorher irgendwie komisch geschrieben
19.05.2012, 19:16	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nach meinem obigen Link zu Wolfram Alpha hat $\begin{eqnarray} A_x \end{eqnarray}$ aber nicht für alle x die Determinante 1. Mit ähnlich meine ich das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Ähnlichkeit_(Matrix) Was ich oben auch sagen wollte: Das $\begin{eqnarray} g_x \end{eqnarray}$ musst Du nicht konkret berechnen. Jede Matrix aus $\begin{eqnarray} SO_3 \end{eqnarray}$ lässt sich auf die angegebene Form bringen (d.h. sie ist dazu ähnlich) und dabei ist dann $\begin{eqnarray} \alpha_x\in[0,2\pi) \end{eqnarray}$ . Dann muss man sich noch überlegen, für welche x das $\begin{eqnarray} \alpha_x \end{eqnarray}$ kein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ sein kann. Meine obige Aussage lässt sich dabei auch lesen als: $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}\setminus\{1,-1\}\Leftrightarrow \alpha_x\in\mathbb{R}\setminus\{k\cdot \pi\|k\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray}$ Das ist aber erst später wichtig. Zunächst braucht Du einen Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A_x \end{eqnarray}$ (berechnen oder z.B. über das charakteristische Polynom argumentieren) und wenn Du diesen zu einer Orthonormalbasis ergänzt, hat Dein $\begin{eqnarray} A_x \end{eqnarray}$ schon mal die Gestalt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&&\\0&&\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Schau dazu mal in Dein Skript. Dann muss das mit den Sternchen unten rechts aber auch orthogonal sein...

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