ideale berechnen

17.05.2012, 15:18

müsli

ideale berechnen

Hallo liebes Forum,

die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie I+J, IxJ und "Wurzel" I explizit für die Ideale I = 4z und J =6z (in Z)

Leider habe ich keine Ahnung wo ich anfangen soll...

Danke schon mal!

17.05.2012, 15:35

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen

Zitat:

Original von müsli
Leider habe ich keine Ahnung wo ich anfangen soll...

Das ist aber etwas dürftig. Zut Not halt einfach mal hinschreiben, was I und J eigentlich sind.

$\begin{eqnarray*} 4 \mathbb Z = \{..., -8,-4,0,4,8, ... \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 \mathbb Z = \{..., -12,-6,0,6,12, ... \} \end{eqnarray*}$

So wird doch schnell offensichtlich, was die Summe dieser beiden Ideale ist. Welche Zahlen liegen da drin? Stur nach Definition gehen.

PS: Was ist mit "IxJ" gemeint? Das Produkt der beiden Ideale? Steht da wirklich ein x zwischen I und J?

17.05.2012, 15:42

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
Ja, mit IxJ ist das Produkt gemeint.

Wenn ich stur nach der Definition gehe, wäre es doch

...-20, -10, 0, 10, 20

Aber das erscheint mir dann doch zu simpel, oder etwa doch?? verwirrt

17.05.2012, 15:44

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
Diese Elemente liegen natürlich in der Summe drin. Das sind aber noch längst nicht alle. Du kannst doch jedes Element aus 4Z mit jedem Element aus 6Z addieren.

Zum Beispiel liegt die -4 in 4Z. Diese kannst du mit der 6 aus 6Z addieren. Das ergibt 2. Also liegt auch die 2 in der Summe. Führe diese Gedanken nun weiter fort. Bzw. eigentlich ist damit auch schon alles klar.

17.05.2012, 15:52

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
Dank Dir!

Achso, also jedes mit jedem, sozusagen.
es ergibt sich also, dass es immer vielfache von 2 ist: 2z also

Bei dem Produkt gestaltet es sich genauso, oder?
D.h. 24z

Doch wie würde ich es mit "Wurzel" I machen,
leider gibt die Definition ja nicht gerade viel her

17.05.2012, 16:02

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen

Zitat:

Original von müsli
Achso, also jedes mit jedem, sozusagen.
es ergibt sich also, dass es immer vielfache von 2 ist: 2z also

Genau. Es gilt auch allgemein

$\begin{eqnarray*} m \mathbb Z + n \mathbb Z = \operatorname{ggT}(m,n) \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Und 2 ist ja der ggT von 4 und 6. Das nur so am Rande, wenn ihr das noch nicht hattet, wird das noch dran kommen.

Zitat:

Original von müsli
Bei dem Produkt gestaltet es sich genauso, oder?
D.h. 24z

Genau. Auch hier gilt allgemeiner

$\begin{eqnarray*} a \mathbb Z \cdot b \mathbb Z = ( a \cdot b) \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von müsli
Doch wie würde ich es mit "Wurzel" I machen,
leider gibt die Definition ja nicht gerade viel her

Ich finde, die Definition gibt so einiges her. Vielleicht einfach mal etwas überlegen. Was ist denn die Wurzel eines Ideals, bzw. hier die Wurzel von 4Z? Schreib das mal sauber hin. Und dann überleg mal, welche Zahlen überhaupt in Frage kommen und welche nicht.

17.05.2012, 16:12

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
zunächst kann es sich ja nur um positive zahlen handeln.

desweiteren {0, 2, \sqrt{8}, 4, \sqrt{20}...}

Das ist doch wurzel 4 z,
oder eben wieder 2 wurzel z

17.05.2012, 16:17

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen

Zitat:

Original von müsli
zunächst kann es sich ja nur um positive zahlen handeln.

Was? Wieso? verwirrt

Zitat:

Original von müsli
desweiteren {0, 2, \sqrt{8}, 4, \sqrt{20}...}

Das mit den Wurzeln vergiss mal schnell wieder. Wir bewegen uns hier innerhalb der ganzen Zahlen und da bleiben wir auch!

Ich hab nicht den Eindruck, dass du dir die Definition dieser Wurzel eines Ideals wirklich klar gemacht hast.

17.05.2012, 16:25

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
okay, du hast recht, wir sollten in z bleiben =)

Laut Definition ist Wuzel I = a^n a \ in R
n \ in N

Das wäre bei I = 4 z
nun also alle Zahlen in 4 z = {-8....0....16...}
mit n potenziert

Also egal welches Element aus 4 z (ja auch wieder vielfache von 4) hoch n.

Daher würde ich jetzt auf (4z)^n sagen. Dabei würde ich natürlich auch wieder in Z bleiben.

17.05.2012, 16:30

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen

Zitat:

Original von müsli
Laut Definition ist Wuzel I = a^n a \ in R
n \ in N

Ich glaube nach wie vor, du hast diesen Wurzelbegriff nicht verstanden. Also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \mathbb Z } = \{ r \in \mathbb Z \, | \, \exists n \in \mathbb N : r^n \in 4 \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$

Versuch es erst einmal mit überlegen. Vielleicht unterscheidest du erst einmal zwischen geraden und ungeraden Zahlen. Welche Aussagen kannst du da jeweils treffen?

PS: Bin nun leider erstmal eine Weile weg, ich schaue später wieder rein.

17.05.2012, 17:26

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
sorry, ich versteh es echt nicht.

verwirrt

17.05.2012, 18:18

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \mathbb Z} \end{eqnarray*}$ , wenn es ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ist. Was genau verstehst du daran nicht?

Das muss auch nicht für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Es muss nur mindestens ein solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geben.

17.05.2012, 18:22

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
also doch die 2 oder???

vielleicht denke ich auch zu kompliziert

17.05.2012, 18:23

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
Die 2 liegt drin, ja. Denn 2^2=4 und 4 ist sicher ein ganzzahliges Vielfaches von 4. Augenzwinkern

Welche Zahlen liegen noch drin?

17.05.2012, 18:39

müsli

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
ich würde mal raten :

-2^2 ist auch 4

8 bzw. -8^1/2

16bzw. -16 ^1/4

usw.

(oder dürfen wir 1/2 nicht benutzen, weil wir in z sind??)
das wäre dann: 2z^n??

17.05.2012, 18:47

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ideale berechnen
Du liest einfach die Definitionen nicht, das ist dein ganzes Problem!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \mathbb Z } = \{ r \in \mathbb Z \, | \, \exists \color{red} n \in \mathbb N \color{black} : r^n \in 4 \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$

Das n soll eine natürliche Zahl sein, und du fängst da plötzlich mit 1/2 und 1/4 an! böse

Ich hatte doch schon gesagt, dass du zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterscheiden sollst. Da du dich dem hartnäckig verweigerst, kommen wir auch nicht zum Ziel.

Nehmen wir uns mal eine beliebige gerade Zahl. Also eine Zahl der Form $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein soll. Liegt die in $\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \mathbb Z} \end{eqnarray*}$ ? Ja, ganz sicher, denn wählt man zum Beispiel $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich $\begin{eqnarray*} (2k)^2 = 2^2 \cdot k^2 = 4k^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4k^2 \end{eqnarray*}$ ist ganz sicher ein vielfaches von $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ . Es gibt also ein passendes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Also liegen ALLE geraden Zahlen in $\begin{eqnarray*} \sqrt{4 \mathbb Z} \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun mit den ungeraden Zahlen?

Neue Frage »

Antworten »

ideale berechnen

Verwandte Themen