Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen

17.05.2012, 16:18

Stochastikfuchs

Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hey, innerhalb einer Aufgabe steh ich gerade vor folgendem Problem, wenn ich weiß, dass folgendes gilt, wäre ich fertig:

$\begin{eqnarray*} P( | X - a| >= y ) = P ( X >= y + a ) + P( X < y - a ) \end{eqnarray*}$

Vorraussetzungen:

X = Zufallsvariable auf Grundraum Omega, P
y > 0
a = relle Zahl

Meine Ideen:
hatte mir überlegt, dass

$\begin{eqnarray*} | X - a | = X - a, falls a> 0, wenn a<0 gilt ja: | X - a | = X + a<br /> \end{eqnarray*}$
aber woher weiß ich dann das obige Formel gilt?

17.05.2012, 17:04

Leopold

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Deine Fallunterscheidung stimmt nicht. Du mußt den Positivitätstest für $\begin{eqnarray*} X-a \end{eqnarray*}$ machen. Denn dieser Term steht in den Betragsstrichen.
Ich würde hier aber nicht formal vorgehen, sondern mir das anschaulich klarmachen:

Markiere auf einer Zahlengeraden die feste Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Wenn nun der Abstand von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mindestens $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ beträgt (das sagt ja gerade die Ungleichung), dann darf doch $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ höchstens den Wert $\begin{eqnarray*} y-a \end{eqnarray*}$ oder muß mindestens den Wert $\begin{eqnarray*} y+a \end{eqnarray*}$ haben. Die Intervalle $\begin{eqnarray*} (-\infty,y-a] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [y+a,\infty) \end{eqnarray*}$ sind aber disjunkt. Aus der Additivität von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ folgt dann die Gleichheit.

EDIT (siehe Beitrag von HAL 9000 unten)
Korrektur: Es muß oben überall $\begin{eqnarray*} a-y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y-a \end{eqnarray*}$ heißen.

17.05.2012, 18:16

HAL 9000

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@Stochastikfuchs

Jetzt hast du sogar Leopold verwirrt, so dass er den Fehler übernommen hat - das gelingt kaum jemanden hier im Board. Augenzwinkern

Statt

Zitat:

Original von Stochastikfuchs
$\begin{eqnarray*} P( | X - a| >= y ) = P ( X >= y + a ) + P( X < y - a ) \end{eqnarray*}$

muss die Gleichung natürlich richtig

$\begin{eqnarray*} P(|X-a| \geq y) = P(X \geq y+a) + P(X \leq {\color{red}a-y}) \end{eqnarray*}$ ,

heißen, d.h. rechts mit $\begin{eqnarray*} a-y \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y-a \end{eqnarray*}$ .

17.05.2012, 18:27

Leopold

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17.05.2012, 21:45

Stochastikfuchs

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Alles klar, danke

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