Lineare Abbildung konstruieren

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17.05.2012, 18:17	ErdbeerWuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung konstruieren Meine Frage: Hallo, für $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ existiert eine lin. Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^3 \rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} \lambda \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich habe schon getestet, ob $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ bilden. Was aber nicht der Fall ist. Sonst wäre die Existenz und Eindeutigkeit von f ja schon gewiesen. Wie muss ich also vorgehen? Muss ich das Lambda in $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so wählen, dass dann das System $\begin{eqnarray} \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ bildet?
17.05.2012, 19:56	circuela	Auf diesen Beitrag antworten »
muß man f(x) nicht erst darstellen bevor man weiterrechnet?
17.05.2012, 22:13	ErdbeerWuff	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann f ja nicht darstellen, wenn ich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ nicht passend wähle, sodass f exisitiert und linear ist
18.05.2012, 13:06	Hobbymath	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich würde so vorgehen: Schreibe einen beliebigen Punkt als Linearkombination $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda_{1}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda _{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda _{3} \cdot \begin{pmatrix} \lambda \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und berechne die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \lambda _{1}, \lambda _{2},\lambda _{3} \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Wende jetzt die Funktionsvorschriften an,wir wollen schließlich auf der linken Seite ein $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erhalten.Nutze auf der rechten Seite die beiden Bedingungen aus,die ein lineare Abbildungen erfüllen muß. MfG
18.05.2012, 20:51	circuela	Auf diesen Beitrag antworten »
Also meine Idee wäre folgende: In Deiner Aufgabe steht ja so etwas wie f(x)=b mit f(x)=Ax. Sei A also die darstellende Matrix mit (e1,e2,e3), dann bekommst Du für die Darstellung Ax=b ja (x1,x2,x3) für die drei Abbildungen von $\begin{eqnarray} V \rightarrow W \end{eqnarray}$ . Ist aber nur so eine Idee. Ich habe alles durchwühlt was ich habe an Skripten und Repetitorien habe... . Tut mir leid, daß ich Dir nicht helfen konnte.
18.05.2012, 21:21	Hobbymath	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R /\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ ergeben die von mir in der Linearkombination aufgeführten Vektoren Erzeugendensysteme und sind linear unabhängig,d.h. man erhält Basen. Ebenfalls für $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R /\left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ erhält man dann später mit "meiner" Methode unendlich viele lineare Abbildungen, Tests mit einem Computerprogramm scheinen das zu bestätigen... MfG
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18.05.2012, 22:05	circuela	Auf diesen Beitrag antworten »
Daß diese Vektoren eine Basis bilden, sieht man auch ohne Computerprogramm. Wenn man sie nebeneinander hinschreibt, sind sie ja schon fast auf Zeilenstufenform. Aber was machst Du mit den Bildern dieser Basisvektoren? Ich meine die rechte Seite vom =?
18.05.2012, 22:29	Hobbymath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \lambda _{1}\cdot f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda _{2} \cdot f\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda _{3} \cdot f\begin{pmatrix} \lambda \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und setze dann Die Funktionswerte ein.Jetzt ist es noch etwas mühselige Rechenarbeit. Ein eleganterer Weg fällt mir nicht ein... Die Koeffizienten habe ich vorher bereits bestimmt!
19.05.2012, 10:56	circuela	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich war total auf dem Holzweg. Du hattest völlig Recht. Wenn $\begin{eqnarray} \lambda\not=0 \end{eqnarray}$ dann erhälst Du immer eine Basis (in R). und die lineare Abbildung f durch die Bilder von x sind eindeutig bestimmt. Vielleicht sollst Du ja den Fall betrachen, wenn $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ ? Dann gibt es eine nicht triviale Lösung für $\begin{eqnarray} \lambda 1,\lambda2,\lambda3 \end{eqnarray}$ ... . Wäre das möglich?
19.05.2012, 12:02	Hobbymath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja,das ist richtig!

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