Reflexionsprinzip Brownsche Bewegung

17.05.2012, 19:21	saz	Auf diesen Beitrag antworten »
Reflexionsprinzip Brownsche Bewegung Folgende Ingredienzien sind gegeben: Sei $\begin{eqnarray} (B_t,\mathcal{F}_t)_{t \geq 0} \end{eqnarray}$ eine 1-dim. Brownsche Bewegung (mit zulässiger Filtration $\begin{eqnarray} (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0} \end{eqnarray}$ ) und $\begin{eqnarray} \tau_b := \inf \{t \geq 0; B_t = b\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b>0 \end{eqnarray}$ . Weiterhin sei $\begin{eqnarray} W_s := b-B_{s+\tau_b} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} s \geq 0 \end{eqnarray}$ . Im Beweis zum Reflexionsprinzip haben wir in der Vorlesung verwendet, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{P}([\tau_b \leq t] \cap [W_{t-\tau_b} < 0]) = \mathbb{P}[\tau_b \leq t] \cdot \mathbb{P}[B_t<0] \end{eqnarray}$ und dabei einerseits die Unabhängigkeit sowie stationäre Zuwächse der Brownschen Bewegung benutzt ... aber im Detail erschließt sich mir dieser Schritt leider noch nicht. Mein erstes Problem besteht darin, dass die Menge $\begin{eqnarray} [W_{t-\tau_b}<0] \end{eqnarray}$ ja überhaupt nur geschnitten mit der Menge $\begin{eqnarray} [\tau_b \leq t] \end{eqnarray}$ sinnvoll ist (da W nur für positive Zeiten definiert ist) - damit kann man ja aber gar nicht das Maß des Schnitts als Produkt der Maße der beiden Mengen schreiben... (Meine erste Idee war diese: $\begin{eqnarray} [\tau_b \leq t] \cap [W_{t-\tau_b}<0] = [\tau_b \leq t] \cap \underbrace{[W_{t-\tau_b \wedge t}]}_{\subseteq [\tau_b \leq t]} (=[W_{t-\tau_b \wedge t} < 0]) \end{eqnarray}$ aber offenbar kann dann die zweite Menge nicht mehr unabhängig von der ersten sein. EDIT: Eine mögliche Lösung für das Problem wäre vielleicht $\begin{eqnarray} \mathbb{P}([\tau_b \leq t] \cap [W_{t-\tau_b}<0]) = \mathbb{P}[W_{t-\tau_b}<0\|\tau_b \leq t] \cdot \mathbb{P}[\tau_b \leq t] \end{eqnarray}$ zu schreiben und sich dann mit Hilfe der Unabhängigkeit weiter mit der ersten Menge zu beschäftigen.) Und mein zweites Problem ist die Unabhängigkeit selbst, die sehe ich leider auch noch nicht (siehe dem zweiten Punkt in der nächsten Liste...) Bekannt sind u.a. die folgenden Dinge: $\begin{eqnarray} \tau_b \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\tau+} \end{eqnarray}$ -messbar. $\begin{eqnarray} (W_t)_{t \geq 0} \end{eqnarray}$ ist Brownsche Bewegung. $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_\infty^W := \sigma(W_t; t \geq 0) \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\tau_b+} \end{eqnarray}$ (Daraus folgt meiner Meinung nach für $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_\infty^W \end{eqnarray}$ -messbare Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tau \leq t \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} W_{t-\tau} \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\tau_b+} \end{eqnarray}$ ... leider ist diese Messbarkeit aber oben nicht gegeben. Kann man das noch verallgemeinern? Oben bräuchte man so etwas in der Art ja für $\begin{eqnarray} \mathcal{F}_{\tau_b+} \end{eqnarray}$ -messbare Zufallsgrößen.) Danke schon mal für's Lesen - ich würde mich über Antworten freuen

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