Achilles und die Schildkröte- Widerlegung auf Mathematische Art

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kgV Auf diesen Beitrag antworten »
Achilles und die Schildkröte- Widerlegung auf Mathematische Art
Wir machen in Philosophie gerade Zenon durch und ich möchte sein Paradoxon widerlegen.
Gegeben: Wenn ein guter Läufer wie Achilles gegen eine Schildkröte antritt, wird er sie nie einholen, wenn er ihr einen Vorsprung gewährt.
Das Ganze basiert darauf, dass die Schildkröte in der Zeit, die Achisses benötigt, um die Strecke zu laufen, die er ihr an Vorsprung gegeben hat, einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewinnt, den er wiederum aufholen muss, während die Schildkröte einen neuen Vorsprung gewinnt usw.

Meine Idee:
= Vorsprung der Schildkröte am Start
= Zeit, die Achilles braucht, um den Vorsprung aufzuholen(abhängig von seiner Geschwidigkeit)
= Neuer, kleinerer Vorsprung der Schildkröte
= Zeit, die Achill braucht, um diesen neuen Vorsprung aufzuholen
usw.

Die Differenz aus Vorsprung und neuem Vorsprung wird kleiner, aber nicht wie bei Zenon sich an Null annährend, sondern kontinuierlich, bis Achilles die Schildkröte überholt.

Wie stellt man das als Ungleichung dar?

Meine Idee:
(in Abhängigkeit der kleineren Geschwindigkeit der Schildkröte)


Hier hänge ich fest: Wie beweise ich, dass Achill die Schildkröte überholt?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Ansatz:
Muss ich die Distanz, die Achilles zurücklegt und die, die die Schildkröte zurücklegt, getrennt angeben und in ein Verhältnis setzen?
Iakoh Auf diesen Beitrag antworten »

Du fragst gerade "Wie beweise ich, dass Achilles die Schildkröte überholt". Die Antwort darauf wäre eine komplette Lösung, die ohne Deine Beihilfe gemacht wurde. Ich nehme mal an, dass Du aber selber zu einem Beweis kommen und nicht einen fremden benutzen willst. Damit ich Dir helfen kann, müsstest Du Dein Problem genauer formulieren.

Um das alles zu sortieren wäre mein Vorschlag:
Sag, nach t Sekunden bzw. nach m Metern ist Achilles mit der Schildkröte gleichauf. Und dann versuchst Du eben eine Gleuchung für t bzw. m (oder was auch immer Dir einfällt) aufzustellen. Wenn dort dann Probleme auftreten, präzisierst Du wo genau.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]m[/latex]= Meter, bis Achilles die Schildkröte einholt
=vorsprung der Schildkröte



Das könnte man jetzt bis in Ewigkeit weiterführen und damit hätte Zenon Recht gehabt
Alsomuss gelten

was heißt, das Achilles schneller rennt als die Schildkröte
Hier weiß ich nicht mehr, wie ich das in meine Gleichung einfügen soll... unglücklich

Iakoh Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse mal zusammen:
Du willst zeigen, dass Achilles die Schildkröte einholt. Du willst also zeigen, dass nach einer Zeit t die beiden gleichauf sind, unzwar ausgehend von Deinem Ansatz.
Nach welcher Zeit ist das? Dazu hast Du in Deinem ersten Post schon etwas geliefert:


wobei von der Geschwindigkeit von Achilles abhängt.

Wie Du siehst, ist das eine unendliche Summe. Wenn Du zeigst, dass diese "unendliche Summe nicht den Wert unendlich besitzt" (oder mathematisch formuliert: nicht divergiert), dann hast Du gezeigt, dass das Paradoxon von Zenon kein Paradoxon ist.

Unendliche Summen sind nicht ganz so leicht zu schaffen, aber um das Paradoxon aufzulösen, führt kein Weg dran vorbei =/
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss demnach zeigen, dass der Vorsprung der Schildkröte irgendwann null beträgt, will heissen



Wenn die Vorsprungswerte, die ja kontinuierlich abnehmen, unter den Wert gesunken sind, der die Geschwindigkeit von Achilles angibt, so muss dieser die Schildkröte mit dem nächsten Abstand überholen. Wenn also



dann hat Zenon Unrecht gehabt und ich kann zufrieden sein Augenzwinkern
Das müsste doch mit



zwingend wahr sein, wenn



Es kommt nur auf die Zeit an. Der Denkfehler bei Zenon liegt darin, dass Achilles irgendwann das Stadium erreicht, indem die Schildkröte mit ihrer ganzen Geschwindigkeit nicht mehr genug Abstand hat, um sich Achilles nächsten Schritt vom Leib zu halten, oder?
Denn Achilles wird dieses Stadium (abhängig von der Differenz der Geschwindigkeiten) früher oder später erreichen. Ist das die kontextuale Auflösung für das Problem mit der unendlichen Summe? Mathematisch ist mir deren Auflösung nämlich etwas zu hoch smile
 
 
Iakoh Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich helfe Dir wesentlich besser, wenn ich Teile der Rechnung mal auflöse:

Zitat:
Ich muss demnach zeigen, dass der Vorsprung der Schildkröte irgendwann null beträgt, will heissen


Ja, das ist schon sehr richtiger Gedanke, der aber trotzdem ein paar Fehler mit sich führt. Du sagst "irgendwann null beträgt" - Und da wird es problematisch. Was heißt irgendwann?

Es gilt:
v1 > 0
v1 > v2 > 0
v1 > v2 > v3 > v4 > v5 >....>vn > 0

Egal, welche _natürliche_ Zahl ich bei vn einsetze, es wird immer größere als 0 sein. In diesem Sinne wird es nie 0. Es gibt keinen "nächsten Abstand mit dem Achilles die Schildkröte überholt".
Trotzdem folgt aus den Fakten (v1 > v2 > v3 > v4 > v5 >... > vn > 0), dass der Vorsprung nach m Metern (sagen wir mal nach 15 Metern) = 0 ist. In diesem Sinne erreicht der Wert des Vorsprungs irgendwann 0, nämlich nach 15 Metern. Warum folgt das aus den Fakten? Du addierst zusammen: m = v1 + v2 + v3 + v4 +.... = 15.

Du könntest jetzt folgendes sagen:
Wenn nach 15 Metern der Abstand Null ist, dann müsste doch ein vn mit vn = 0 geben. Die Antwort ist ja, aber nicht in der Menge der natürlichen Zahlen und auch nicht in der Menge reellen Zahlen. Du müsstest für n "unendlich" einsetzen und das geht erst mit surrealen Zahlen. Und die kommen nicht mal in meinem Studium (Mechatronik) dran.

--------------

So, dann mal zu Deinen Fehlern:


Nein. Deine Aussage ist: "Strecke < Geschwindigkeit". Das ist inhaltlich gleichbedeutung mit "Nachts ist es kälter als draußen". Du kannst Strecken mit Strecken vergleichen, Zahlen mit Zahlen, Geschwindigkeiten mit Geschwindigkeiten, aber keine Strecke mit einer Geschwindigkeit.

Was meinst Du mit m und m1 und m2 und...?
Ich habe m als Strecke in Metern definiert, nach der Achilles gleichauf mit der Schildkröte ist, sie also nebeneinander laufen. In meinem Beispiel also 15 Meter. Was bedeutet da m1?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nachts ist es kälter als draußen


UUps Hammer

m ist der Raum, also die Distanz, die Achilles benötigt, um den neuen Vorsprung der Schildkröte einzuholen, aber das ist, wie du grade gezeigt hast, ein erst mit surealen Zahlen möglicher Ansatz.



Ich glaube, den Weg jetzt verstanden zu haben, und gebe mich damit zufrieden(der mathematische Beweis ist doch erheblich komplizierter als angenommen Big Laugh )

Dankedir vielmals, Iakoh Mit Zunge
Iakoh Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, nein, ich wollte Dir hier nicht Deine Motivation nehmen! Mit den Mitteln der Oberstufe kannst Du die Formel aufstellen. Die Aufgäbe läst sich über einen Grenzwert lösen und Grenzwerte kannst Du mit den reellen Zahlen bilden. Ich wollte Dir nur erklären, was ein Grenzwert ist, weil das eine ziemlich umständliche Formulierung in der Menge der reellen Zahlen ist.

Statt vn = 0 sagst Du dann:

Wenn Du das beweisen kannst - und das kannst Du -, dann hast Du schon fast gezeigt, dass alle vn zusammen einen endlichen Wert ergeben und sich Achilles und die Schildkröte auch mit diesem Ansatz nach einer endlichen Entfernung treffen!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jeder weiss, dass er von einem Porsche auf der der Autobahn überholt wird.

Wo ist das Problem?


Meiner Meinung nach nur darin , dass winzig kleine Stoppzeiten angenommen werden.
Wenn man die annämen würde, würde tatsächlich kein Überholvorgang statfinden.
Das Gannze würde "einfrieren"
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Ganze würde "einfrieren"

Klingt logisch. Die Werte würden immer kleiner, die Zeit würde sozusagen stehenbleiben, ehe Achilles die Schildkröte überholen könnte

Zum Grenzwert... Könnte mir jemand einen Anstoß geben, wie ich den beweise, damit ich eine Richtung habe? Gott Danke
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sei der Vorprung der Schildkröte
= Geschwindigkeit von Achilles
= Geschwindigkeit der Schildkröte

und = die Aufholwegstrecken, dann







führt man nun ein, so gilt



was eine geometrische Folge ist.

Für die konvergente Summe gibt es eine einfache Formel.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Mühe, aber ich kann diese Summenzeichen nicht lesen unglücklich , das haben wir in der Schule noch nicht gehabt. Dürfte ich um Erklärung bitten?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Summenzeichen

Das von dir angesprochene Paradoxon könnte man auch im [WS] Folgen finden...
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe ich das richtig:
Die Zahl unter Sigma gibt den Startwert an, die Zahl über Sigma den Endwert und die Zahl nach Sigma den Zählschritt?
Dann werden alle Elemente, die diese Bedingungen erfüllen, addiert, oder?
Gott
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Zählschritt? verwirrt
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Den Abstand zwischen den einzelnen Werten der Reihe (sry, war unglücklich ausgedrückt)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Der Ausdruck hinter dem Summenzeichen ist die Summationsvariable bzw. der Summationsausdruck. In diesen Ausdruck setzt du nacheinander jeweils die Werte vom Anfangs- bis zum Endwert ein und summierst dann auf. Die animierte Grafik auf Wikipedia verdeutlicht dies ganz schön.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaachso! Dann werden in unserem Fall alle neu berechneten Vorsprungswerte in diese Summe eingesetzt. Aber wie lautet nun die Formel, um die Summe aufzulösen, bzw. woraus kann ich sie (mit eurer Hilfe) herleiten?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

der Wert der geometrischen Reihe


und die Herleitung steht im Schulbuch.
Ist in Latex ein wenig schwer darzustellen

aber hier steht es ganz genau:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, ich habs gerafft!!! Tanzen
Vielen, vielen Dank an euch allen Gott Mit Zunge
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Letztes: Wenn Achilles der Schildkröte 100 m Vorsprung gibt und 50 m läuft, während diese 1m macht, dann wird der Vorsprung der Schildkröte bei erreichen der 100 m von Achilles 2 m betragen. In 50 Metern wird Achilles dann 47 m Vorsprung haben, oder? Der Trick ist es, Achilles zum Maß zu nehmen und nicht die Schildkröte. Dann lässt sich das Paradoxon ganz leicht austricksen Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man eine kontinuierliche Bewegung annimmt, dann gibt es wie schon erwähnt kein "Problem"



Und noch eines: 1.) die Natur kümmert sich nicht um unsere Erkenntnisprobleme. 2.) die Natur hat immer recht.
Weitere "Paradoxien"

Zwillingsparadoxon
Hydrostatisches Paradoxon..
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, danke Augenzwinkern
Von Paradoxa hab ich erst mal genug Wink
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist da noch etwas eingefallen...



Wenn wir also wissen, dass Achilles schneller als die Schildkröte ist, wissen wir, dass er in der selben Zeit mehr Weg zurücklegt als die Schildkröte, das auf die Unendlichkeit ausgedehnt bedeutet, dass er immer gewinnen wird, egal wie groß der Vorsprung ist
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