minimaleigenschaft

Neue Frage »

17.05.2012, 20:52	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
minimaleigenschaft Hallo liebe Mathematiker! Kann mir jemand erklären was denn die Minimaleigenschaft des arithmetischen Mittels bzw. des Medians besagt? Aus der Definition kann ich mir einfach nichts vorstellen: Die funktion $\begin{eqnarray} \sum _{ i=1 }^{ k }{ ({ x }_{ i } } -x)^{ 2 } \end{eqnarray}$ hat an der Stelle x= $\begin{eqnarray} \overset { - }{ x } \end{eqnarray}$ ein Minimum... Also die Funktion hat an der Stelle des Arithmetischen Mittels ein Minimum.. was sagt mir das?? ich versteh das einfach nicht, was das hilft..
17.05.2012, 23:03	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Varianz ist ein Streuungsmaß und definiert als $\begin{eqnarray} s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-a)^2 \end{eqnarray}$ Man kann für a reintheoretisch alle Werte einsetzen. Nur bringt einem das wenig, vorallem wenn man verschiedene Messreihen miteinander vergleichen möchte. Außerdem ist dann noch nicht klar, um welchen Wert die einzelnen Messwerte überhaupt streuen. Um zu vergleichen müssen also gleiche Bedingungen geschaffen werden...da bietet sich an, dass alle Streuungsmaße minimal sein sollen. Dass bei $\begin{eqnarray} \overline x \end{eqnarray}$ ein Minimum ist, hast du verstanden oder willst du den Beweis machen? Edit: Ach ja... die mittlere absolute Abweichung ist ebenfalls ein Streuungsmaß und definiert als $\begin{eqnarray} d=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left\|x_i-a\right\| \end{eqnarray}$ wobei aus $\begin{eqnarray} \min_{a\in\mathbb{R}}d \end{eqnarray}$ folgt, dass der Median diese Minimaleigenschaft erfüllt. Der Zweck scheint mir der gleiche zu sein wie bei der Varianz.
18.05.2012, 09:14	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
ist es möglich mit irgendeinem anschaulichen Bsp (vielleicht Gesamteinkommen oder ähnliches) zu erklären, warum der mittelwert ein minimum ist.. das ist mir irgendwie nicht klar bzw. wie man die Formel lesen muss..
18.05.2012, 09:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch ohne jegliche Statistikkenntnisse kann man sofort feststellen, dass $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{i=1}^k (x_i-x)^2 \end{eqnarray}$ eine quadratische Funktion ist, deren Minimum man sofort erkennt, wenn man sie in Scheitelpunktform bringt: $\begin{eqnarray} f(x) &=& \sum_{i=1}^k ((x_i-\bar{x})-(x-\bar{x}))^2 = \sum_{i=1}^k (x_i-\bar{x})^2 - 2\sum_{i=1}^k (x_i-\bar{x})(x-\bar{x}) + \sum_{i=1}^k (x-\bar{x})^2 \\ &=& k(x-\bar{x})^2 + \underbrace{\sum_{i=1}^k (x_i-\bar{x})^2}_{\substack{= \mbox{konstant, d.h.}\\ \mbox{von $x$ unabhängig}}} \end{eqnarray}$ , der Mittelterm der binomischen Terme fällt in der Summe aufgrund von $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k (x_i-\bar{x}) = \sum_{i=1}^k x_i - k\bar{x} = 0 \end{eqnarray}$ weg.
18.05.2012, 10:32	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es so zeigen: $\begin{eqnarray} \min_a f(a) =\sum_{i=1}^n(x_i-a)^2 \end{eqnarray}$ Die notwendige Bedingung für ein Minimum lautet: $\begin{eqnarray} \frac{\dd f}{\dd a}(a)=2\sum_{i=1}^n(x_i-a)\overset{!}{=}0\iff \sum_{i=1}^n(x_i-a)=\sum_{i=1}^nx_i-\sum_{i=1}^na=n\overline{x}-na=0\iff\overline{x}=a \end{eqnarray}$
18.05.2012, 11:21	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich ist mir da ein Fehler passiert -.- es muss richtig heißen: Die notwendige Bedingung für ein Minimum lautet: $\begin{eqnarray} \frac{\dd f}{\dd a}(a)=2\sum_{i=1}^n(x_i-a)\cdot(-1)\overset{!}{=}0\iff \sum_{i=1}^n(a-x_i)=\sum_{i=1}^na-\sum_{i=1}^nx_i=na-n\overline{x}=0\iff a=\overline{x} \end{eqnarray}$ Dann funktioniert auch die hinreichende Bedingung^^ $\begin{eqnarray} \frac{d^2f}{\dd a^2}(a)=2n>0 \implies \end{eqnarray}$ Minimum bei $\begin{eqnarray} \overline{x} \end{eqnarray}$
Anzeige

18.05.2012, 11:32	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke für die Antworten.. ich hab es jetzt ähnlich bewießen, hald mit der anderen Schreibweise f´und f´´ (da hab ich mehr übung . Ich gebe mich einfach damit zufrieden, dass es mathematisch dann so korrekt ist aber ich es mir hald nicht vorstellen kann, warum das so ist.
18.05.2012, 12:08	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
was mir jetzt grad noch nicht ganz klar ist, warum es differenziert negativ wird bzw. warum (-1)??
18.05.2012, 16:13	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die innere Ableitung nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bröseln wir mal die Summe auf: $\begin{eqnarray} f(a)= (x_1-a)^2 + (x_2-a)^2+\ldots+(x_n-a)^2 \end{eqnarray}$ Wenn wir das ableiten, leiten wir summandenweise ab $\begin{eqnarray} \frac{\dd f}{\dd a}(a)= 2(x_1-a)\cdot (-1) + 2(x_2-a)\cdot(-1)+\ldots+2(x_n-a)\cdot(-1) \end{eqnarray}$ wobei (-1) jeweils die innere Ableitung ist (Kettenregel, die ich anfangs missachtet hab^^). Zieht man die (-1) nun jeweils in die Klammer rein, dreht sich dort das Vorzeichen beider Summanden um, also ist $\begin{eqnarray} \frac{\dd f}{\dd a}(a)=2\sum_{i=1}^n(a-x_i) \end{eqnarray}$ Vielleicht noch einen Satz zur Bedeutung, bzw. weshalb man das arithmetische Mittel für a nimmt: Interessant für die Auswertung ist ja um welchen Wert meine Realisationen bzw. Merkmalsausprägungen (Höhe des Einkommens, Sprungweite beim Weitsprung etc.) streuen. Ich könnte auch sagen mich interessiert wie hoch die Streuung um den Wert a=0 ist. Ob das nun Sinn macht, bei strikt positiven Realisationswerten (niemand hat ein negatives Einkommen...) ist die andere Frage. Um Mess- und Datenreihen standardisert vergleichen zu können, sucht man eben für alle Mess- und Datenreihen die geringste Streuung, und wie bewiesen ist das der Fall für $\begin{eqnarray} a=\overline{x} \end{eqnarray}$ Hilft das?
23.05.2012, 19:39	weizenhuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
aja die Kettenregel und xi ist ja kein Argument xD! Danke!!

Neue Frage »

Antworten »

minimaleigenschaft

Verwandte Themen