Herleitung der Formel für das Volumen eines Spats

17.05.2012, 21:09	Mia_	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Formel für das Volumen eines Spats Meine Frage: Das Spatprodukt lautet laut Formelsammlung: $\begin{eqnarray} \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)\cdot \vec{c} \end{eqnarray}$ dementsprechend lautet die Formel für das Volumen eines Spats: $\begin{eqnarray} \| \left(\vec{a}\times \vec{b} \right)\cdot \vec{c} \| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} V = A\cdot h \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A = \| \vec{a} \times \vec{b}\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h = \| \vec{c} \| \cdot \| \cos(\gamma) \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow V = \| \vec{a} \times \vec{b} \| \cdot \| \vec{c} \| \cdot \| cos (\gamma ) \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow V = \| \left(\vec{a} \times \vec{b}\right) \cdot \vec{c} \| \end{eqnarray}$ Ich verstehe allerdings nicht so ganz, warum $\begin{eqnarray} A = \| \vec{a} \times \vec{b}\| \end{eqnarray}$ ist. Den das Kreuzprodukt bringt doch eigentlich nur die Höhe oder? Ich nehme an, dass das was mit dem Betrag zu tun hat, jedoch komme ich nicht dahinter. Währe super lieb, wenn mir jemand helfen könnte. Lg Mia Bilder und Infos von : http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/...Spatprodukt.htm [ 17. Mai 2012, ca. 21:00 Uhr]
18.05.2012, 10:39	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mia_, das Kreuzprodukt ist eine gerichtete Fläche. Der Flächenvektor steht in kartesicschen Koordinaten senkrecht auf der Fläche. Der Betrag des Flächenvektors ist gleich der Parallelogrammfläche. LG
18.05.2012, 18:13	Mia_	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Weisst du zufällig noch, warum der Flächenvektor senkrecht auf der Fläche steht ? Ist das wie mit dem Normalenvektor einer Ebene und warum nimmt man das Kreuzprodukt und nicht das Skalarprodukt, denn A=axb, da könnte man doch auch einfach die beiden Vektoren multiplizieren...
20.05.2012, 12:51	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektor aus $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf zur aufgespannten Fläche, da es schon mal gar keine Alternative dazu gibt. Als Ebenenvektor wäre er von beiden linear abhängig. Damit ist er ein (nicht normierter) Normalenvektor. Das Skalarprodukt abcos(alpha) würde bei einem Rechteck null liefern, das Vektorprodukt halt absin(alpha)=ab Das V-Produkt sagt auch etwas über die Lage der "Fläche" im Raum aus. Das Spatvolumen ist daher auch maximal, wenn $\begin{eqnarray} \vec c \end{eqnarray}$ senkrecht zur Grundfläche $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec b \end{eqnarray*}$ ist. Hoffe das trifft deine Fragen...
20.05.2012, 15:02	Mia_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke. Den Rest konnte ich mir dadurch selbst herleiten.
20.05.2012, 21:57	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne
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