Tiefpunkt und Hochpunkt nachweisen

18.05.2012, 18:04

Loxan

Tiefpunkt und Hochpunkt nachweisen

Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -1/(2)x^3 + 5x^2 -14x + 9 \end{eqnarray*}$
Aufgabe:
Wiesen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f die lokalen Extrempunkte $\begin{eqnarray*} T (2 | -3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H (14/3 | 47/27) \end{eqnarray*}$

Meine Rechnung bisher:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -1/(2)x^3 + 5x^2 -14x + 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = -1,5x^2 + 10x - 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = -3x + 10 \end{eqnarray*}$

Nullstelle berechnen:
$\begin{eqnarray*} -1,5x^2 + 10x - 14 = 0 \end{eqnarray*}$ |ausklammern
$\begin{eqnarray*} -x (1.5x +10 - 14) = 0 \end{eqnarray*}$ |10-14 rüberbringen
$\begin{eqnarray*} 1.5x = -4 \end{eqnarray*}$ | :4
$\begin{eqnarray*} x1 = 8/3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2 = -8/3 \end{eqnarray*}$

Extrempunkte berechnen:
$\begin{eqnarray*} f(8/3) = - 61/27 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-8/3) = 547/27 \end{eqnarray*}$

irgendwo muss ich einen Fehler gemacht haben, weil ich nicht auf das richtige Ergebnis komme.

18.05.2012, 18:12

adiutor62

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RE: Tiefpunkt und Hochpunkt nachweisen
Du hast den 1.Bruchterm nicht richtig abgeleitet. x^3 steht im Nenner,bedeutet also x^-3.
Deine Schreibweise irritiert mich.
Wenn ich 2 in die 1.Ableitung einsetze, erhalte ich Null. Das passt dann wieder.
Bitte teile mir mit, wie der 1.Bruchterm lautet. Wo steht das x^3 in der Angabe?
Ich habe gelesen: minus 1 durch 2x^3
Du hast noch grobe Schnitzer bei der Nullstellenberechnung gemacht. Das Ausklammern stimmt nicht
Deine Ableitungen scheinen richtig zu sein. Nur passen sie nicht zu der Ausgangsfunktion, wie ich sie gelesen habe.

19.05.2012, 01:07

Iorek

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RE: Tiefpunkt und Hochpunkt nachweisen

Zitat:

Original von adiutor62
Du hast den 1.Bruchterm nicht richtig abgeleitet. x^3 steht im Nenner,bedeutet also x^-3.
Deine Schreibweise irritiert mich.
[...]
Deine Ableitungen scheinen richtig zu sein. Nur passen sie nicht zu der Ausgangsfunktion, wie ich sie gelesen habe.

Die Funktion wurde richtig abgeleitet und die Schreibweise ist eindeutig identifizierbar: $\begin{eqnarray*} -1/(2)x^3\dots=-\frac 12x^3\dots \end{eqnarray*}$ , einen "Bruchterm ableiten" ist also unnötig. Auch wenn man die von dir bestätigten Ableitungen betrachtet, erhält man eindeutig diese Funktion im Umkehrschluss als Stammfunktion. Übrigens ist deine sprachliche Umschreibung ebenso missverständlich und zweideutig, eine Darstellung unter Verwendung unseres Formeleditors wäre angebrachter.

20.05.2012, 17:27

Loxan

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Danke erstmal für eure Antworten.
adiutor62 , du hast mich mit deiner Antwort leider verwirrt, weil ich gerade nicht wirklich weiss, was du mir mitteilen möchtest.

Deswegen frage ich nun nochmal:
Wie muss ich den Bruch ableiten?
Mit $\begin{eqnarray*} ^2 \end{eqnarray*}$ oder mit $\begin{eqnarray*} ^3 \end{eqnarray*}$ ?

Und ausklammern habe ich den Fehler gefunden, so müsste es richtig sein:
$\begin{eqnarray*} f(x) = -1/(2)x^3 + 5x^2 -14x + 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = -1,5x^2 + 10x - 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = -3x + 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x [-1,5x +10-14) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1,5x = 10-14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1,5x = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = - 2(2/3) \end{eqnarray*}$

Leider habe ich so immernochnicht das richtige ergebnis raus

20.05.2012, 17:31

adiutor62

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Ich hatte den ersten Term falsch interpretiert un dachte, das $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$
stünde im Nenner.
Wenn du f´(x) = 0 gesetzt hast, kannst du die Gleichunng mit der Lösungsformel für quadrat. Gleichungen lösen.

20.05.2012, 17:57

Hobbymath

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Hi,

du hast die erste Ableitung gleich 0 gesetzt,dannn aber falsch nach x aufgelöst (falsch ausgeklammert!)!

Du mußt hier die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen anwenden.

Mfg

20.05.2012, 18:02

adiutor62

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Das falsche Ausklammern hatte ich bereits angesprochen. Dieser Sachverhalt war offensichtlich im Zuge meiner Fehlinterpretation des $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$
untergegangen. Gut dass du das nochmal aufgegriffen hast. Danke.

20.05.2012, 18:09

Hobbymath

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Entschuldige,das hab ich glatt überlesen!Ich überlasse Dir wieder das Feld!

20.05.2012, 18:36

adiutor62

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x_1/2 = $\begin{eqnarray*} \frac{-b\pm (b^2-4ac)^1/2}{2a} \end{eqnarray*}$ Diese Formel meinte ich.

21.05.2012, 18:30

Loxan

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Guten Abend,
die Formel die du geschrieben hast, sagt mir leider gar nichts.
Ich habe es nun einmal mit der PQ-Formel berechnet.
Folgendes Ergebnis kam heraus:
$\begin{eqnarray*} x1 = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2 = 1,74 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T (2 | -3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H (4,7 | 1,74) \end{eqnarray*}$

Den Tiefpunkt habe ich nun richtig berechnet, allerdings habe ich den Hochpunkt falsch berechnet.
Habe f(1,74) mehrmals nachgerechnet und konnte keinen Tipp Fehler erkennen.

MfG

22.05.2012, 15:43

Mystic

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Zitat:

Original von adiutor62
die Formel die du geschrieben hast, sagt mir leider gar nichts.

Ja, die Formel

Zitat:

Original von adiutor62
x_1/2 = $\begin{eqnarray*} \frac{-b\pm (b^2-4ac)^1/2}{2a} \end{eqnarray*}$ Diese Formel meinte ich.

ist ja auch Unsinn... Ich vermute, dass adiutor62 halt nur wieder einmal (zum wievielten Mal eigentlich? geschockt

) vergessen hat, Klammern richtig zu setzen... unglücklich

22.05.2012, 19:49

Hobbymath

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Hi,

ich hätte Lust, weiter zu machen!

Ich erhalte für die Lösung der quadratischen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x_{1}=2,x_{2}=\frac{14}{3} \end{eqnarray*}$ .

Dass Du mit falschen Werten auf den richtigen Tiefpunkt gekommen bist,ist mir ein Rätsel. smile

Damit es formeltechnisch keine Missverständnisse mehr gibt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung

MfG

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