Geburts- und Todesprozess

26.01.2007, 14:09	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
Geburts- und Todesprozess Ich habe die Übergangsmatrix $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & \dots \\ q & r & p & 0 & \dots \\ 0 & q & r & p & 0 \dots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hoffe man kann erkennen was gemeint ist. Nun soll ich die Matrix interpretieren, die invariante Verteilung bestimmen. Zur Interpretation: 0 ist absorbierender Zustand, d.h. die Bevölkerung ist ausgestorben! Mit Wahrscheinlichkeit p gibt es mehr Geburten als Tode, Mit Wahrscheinlichkeit q mehr Tote als Geburten und mit Wahrscheinlichkeit r sind beide Größen gleich groiß, das heißt die Bevölkerung ändert sich nicht. also invariante (stationäre) Verteilung erhalte ich $\begin{eqnarray} \Pi = (1, 0, \dots ) \end{eqnarray}$ Wie kann ich das nun interpretieren???
28.02.2007, 12:01	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
schade das mir bisher keiner geholfen hat. Heißt obiges Problemstellung das immer größer werdendes n die Bevölkerung zwangsläufig ausstirbt?
28.02.2007, 12:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das heißt es nicht: Bei unendlichem Zustandsraum existiert nicht notwendig eine invariante Verteilung. Und selbst wenn eine (wie in deinem Fall) existiert, heißt das noch lange nicht, dass die n-Stufen-Verteilung für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ dahin konvergiert (letzetres gilt übrigens selbst bei endlichem Zustandsraum nicht generell).
28.02.2007, 12:47	Ambrosius	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke schonmal. aber was sagt mit die invariante Verteilung in dem Fall? bzw was hab ich von der?
28.02.2007, 13:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die sagt dir zumindest, dass es bei dieser Verteilung bleibt, wenn du mit dieser Verteilung startest. Das ist aber in deinem Fall trivial - um es mal salopp zu sagen: Alles tot bleibt alles tot. Aber betrachte mal den deterministischen Spezialfall $\begin{eqnarray} p=1,q=r=0 \end{eqnarray}$ . Dann erhöht sich die Bevölkerungszahl in jedem Schritt genau um 1 (zumindest wenn man mit größer Null startet), es existiert in diesem Fall ganz offensichtlich keine stationäre Verteilung außer deiner trivialen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »