Verschoben! Liegt der Punkt im Dreieck ?

18.05.2012, 19:45

Mia_

Liegt der Punkt im Dreieck ?

Meine Frage:
Gegeben sind die Ebene $\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4,5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie eine Normalengleichung der Ebene E an.

d) Bestimmen Sie die Punkte X,Y und Z, in denen die Ebene E von den Koordinatenachsen durchstoßen wird. Diese bilden mit dem Koordinatenursprung eine Pyramide. [...]

e) Zeigen Sie, dass sich E und g schneiden. Berechnen Sie den Schnittpunkt. Liegt der Schnittpunkt im Dreieck XYZ aus d)? Berechnen Sie den Schnittwinkel von g und E.

Meine Ideen:
a)

$\begin{eqnarray*} E: \left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

d)

$\begin{eqnarray*} E \cap X - Achse \Rightarrow X\left(6/0/0\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E \cap Y - Achse \Rightarrow Y\left(0/6/0\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E \cap Z - Achse \Rightarrow Z\left(0/0/12\right) \end{eqnarray*}$

e)

$\begin{eqnarray*} E\cap g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{pmatrix} 5 \\ -4,5 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(8,5/-4,5/4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S\in Dreieck - XYZ ? \end{eqnarray*}$

-> Was muss ich hier tun?
Ich weiss lediglich, dass die Bedingung am Ende $\begin{eqnarray*} 0\leq r+s\leq 1 \end{eqnarray*}$ lautet. Jedoch würde ich zusätzlich gern wissen, warum das so ist.

Vielen Dank schonmal und liebe Grüße - Mia

18.05.2012, 22:46

Mia_

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Wenn alles in der Ebene liegt, müssen doch die Vektoren untereinander und der Punkt zu den Vektoren Komplanar sein, oder?

Das bedeutet :

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = r\cdot \vec{a} + t\cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a}= \vec{0X} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \vec{0Y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \vec{s} = r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 6r = 8,5 \\ 6t = -4,5 \\ 0 = 4 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r + t = \frac{2}{3} <br /> <br /> \Rightarrow 0\leq r+t\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Der Schnittpunkt liegt im Dreieck XYZ.

18.05.2012, 22:52

opi

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Ich nehme an, die Geradengleichung lautet $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4,5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ {\color{red}4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann stimmen Deine bisherigen Ergebnisse aus dem Eingangsbeitrag.

Um zu prüfen, ob der Schnittpunkt im Dreieck XYZ liegt, mußt Du eine neue Gleichung aufstellen und nachfolgende Bedingungen prüfen:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XS}=r\cdot\overrightarrow{XY}+s\cdot\overrightarrow{XZ}<br /> 0\leq r, s\leq 1\wedge 0\leq r+s\leq 1 \end{eqnarray*}$

Warum das so ist, wird Dir am besten klar, wenn Du die Skizze eines Dreiecks machst und ausprobierst, welche Situation sich z.B für einen negativen Parameter oder einen Parameter größer 1 ergibt.

Das Problem läßt sich aber auch gut zeichnerisch lösen. Augenzwinkern

Edit: Ich hatte Deinen neuen Beitrag noch nicht gesehen, mein Beitrag passt aber trotzdem noch.
Und ab mit uns in die Geometrie.

18.05.2012, 22:59

Dopap

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allgemein ist es so:

eine Ebene wird wie üblich aufgespannt.

$\begin{eqnarray*} \vec x =\vec a +\lambda \vec u +\mu \vec v \end{eqnarray*}$

und bestimmt man einen Punkt der Ebene und es gilt

1.) $\begin{eqnarray*} \lambda \in [0.1] \land \mu \in [0,1] \end{eqnarray*}$

dann liegt der Punkt im "aufgespannten" Parallelogramm.

Für das Dreieck ist nur noch eine kleine Korrektur notwendig.

18.05.2012, 23:20

Mia_

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Zitat:

Original von opi
Ich nehme an, die Geradengleichung lautet $\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4,5 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ {\color{red}4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann stimmen Deine bisherigen Ergebnisse aus dem Eingangsbeitrag.

Stimmt, da habe ich mich vertippt! smile

Ich probiere das gleich mal aus mit dem Zeichnen.

Zitat:

Original von Dopap
Für das Dreieck ist nur noch eine kleine Korrektur notwendig.

Was meinst du mit "kleine Korrektur"?

18.05.2012, 23:24

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \lambda + \mu \leq 1 \end{eqnarray*}$

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