betragfunktion, differenzierbar

18.05.2012, 20:34	betrag	Auf diesen Beitrag antworten »
betragfunktion, differenzierbar die betragfunktion Ix-5I ist ander stelle x=5 nicht differenzierbar, da der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert nicht richtig?
18.05.2012, 21:59	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch. Der rechts- und linksseitige Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\|x-5\| \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\to 5 \end{eqnarray}$ existiert. Er beträgt 0. Für die Differenzierbarkeit muss der rechts- und linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten übereinstimmen bzw. auch existieren. Edit: siehe dazu http://de.wikipedia.org/wiki/Differenzie...Betragsfunktion
18.05.2012, 22:44	betrag	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich dachte mir, weil die die betrag funktion IxI an der stelle null nicht differenzierbar ist, folgt durch eine verschiebung von IxI zum bsp nach rechts um 5, dass dann dort die stelle nicht mehr differenzierbar ist, weil ich den knick von IXI nach rechts um 5 verschiebe
18.05.2012, 23:03	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig!!! Aber deine Begründung ist falsch. $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow 5}\|x-5\|=\lim_{x\searrow 5}\|x-5\|=0 \end{eqnarray}$ Dies ist ein Kriterium für die Stetigkeit einer Funktion ("kann ich sie ohne abzusetzen zeichnen?") Aber für Differenzierbarkeit muss gelten $\begin{eqnarray} \lim_{x\nearrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\searrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray}$ und existent!
18.05.2012, 23:18	betrag	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versuchs mal x>5 f=x+5, f'=1 x<5 f0=-x-5 , f'=-1 => nicht differenzierbar (darf ich so begründen?)
18.05.2012, 23:25	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
formal zwar unschön, aber im Prinzip richtig
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