Binomische Formel unbekannter Potenz

18.05.2012, 22:06	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomische Formel unbekannter Potenz Hallo, ich soll eine Formel in meinen Hausaufgaben beweisen. Ich bin schon so weit, das ich sie fast bewiesen habe, allerdings fehlt mir noch ein Zwischenschritt. Wobei das nur noch mich schon seit Stunden beschäftigt und ich lansam zweifel, ob es sich wirklich um die gleichen Ausdrücke handelt (wenn ich falsch liege, bitte sagen). $\begin{eqnarray} \frac{na^{n-1}+nb^{n-1} }{2} = \frac{a^n-b^n} {a-b} \end{eqnarray}$ Ich hatte schon folgende Gleichung aufgestellt, wenn ich die dritte binomische Formel richtig verstanden habe $\begin{eqnarray} \frac{a^n-b^n} {a-b}=\frac{(a-b)(a^n+b^n)}{a-b} \end{eqnarray}$ nach den kürzen und ausrechnen fehlt mir aber das 1/2 $\begin{eqnarray} (a^n+b^n )=(na^{n-1}+nb^{n-1} )=n(a^{n-1}+b^{n-1}) \end{eqnarray}$ Wo liegt mein Fehler? Im Grundgedanken oder in der Umstellung?
18.05.2012, 22:16	hollisch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a^n-b^n\neq(a-b)(a^n+b^n)=a^{n+1}+ab^n-ba^n-b^{n+1} \end{eqnarray}$ allgemein gilt für höhere Potenzen $\begin{eqnarray} a^n-b^n=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k} \end{eqnarray}$ Edit: wobei du das in deinem Beweis wohl auch erstmal beweisen musst (außer ihr habt es schonmal gemacht und setzt es als bekannt voraus) Ansonsten hätt ich jetzt an vollständige Induktion gedacht... Zumindest für den Beweis der Binomischen Formel.

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