Schnittgerade zweier Ebenen

18.05.2012, 23:52

Tubbycore

Schnittgerade zweier Ebenen

Hi,
ich muss die Schnittgerader dieser beiden Ebenen herausfinden:

$\begin{eqnarray*} E_1:x_1-x_2+3x_3+1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_2:x_1-3x_2+4x_3+3=0 \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:
$\begin{eqnarray*} \vec{n_{E_1}} \times \vec{n_{E_2}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist Schnittgerade $\begin{eqnarray*} s:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Frage: Ist dieser Weg / Lösung richtig?
2. Frage: Ist diese Schnittgerade dann wirklich genau da wo sich die zwei Ebenen Kreuzen oder können sie verschoben sein? Da es bei Vektoren ja auch egal ist wo sie im Raum liegen.

Ich frage deshalb die 2. Frage da ich mir das mal visualisieren wollte und folgendes bekommen habe:
[attach]24549[/attach]
Wie man sieht ist die Gerade nicht exakt da wo die Ebenen sich schneiden.

Edit opi: Bild eingefügt, Link entfernt

19.05.2012, 00:19

opi

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Deine Bedenken sind richtig, die Schnittgerade ist falsch. Augenzwinkern

Der Richtungsvektor stimmt, Du benötigst aber noch einen Stützvektor. Dies kann nicht einfach einer der Normalenvektoren sein, sondern ergibt sich aus einem gemeinsamen Punkt beider Ebenen.
Einen solchen Punkt kannst Du erhalten, indem Du z.B. durch Additionsverfahren eine Komponente der Koordinatengleichungen eleminierst und für eine der anderen Komponenten willkürlich eine beliebige Zahl einsetzt.

19.05.2012, 00:38

Tubbycore

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oh man stimmt... irgendwie auch logisch o0.

Nun habe ich $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ elemeniert und dabei fällt auch gleichzeit das $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ raus also lautet das Endprodukt:
$\begin{eqnarray*} -2x_2+2=0;\quad x_2=1\quad=>\quad\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also lautet die Schnittgerade nun:
$\begin{eqnarray*} s:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also eig. müsste das nun stimmen oder? Laut Programm ist diese Gerade immernoch nicht exakt da wo sich die 2 Geraden kreuzen. Hoffe dass das nur am Programm liegt und nicht an mir! Augenzwinkern

19.05.2012, 00:54

opi

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Wenn Du x1 eliminierst (ich bitte um Entschuldigung, das war mein Rechtschreibfehler) fällt x3 nicht heraus. Der Punkt (0|0|1) liegt weder in E1 noch in E2.

Oder hast Du f0r x3 Null eingesetzt? verwirrt

$\begin{eqnarray*} -2x_2+2=0;\quad x_2=1\quad=>\quad\begin{pmatrix} 0 \\ {\color{red}1} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sollte es dann stimmen. smile

19.05.2012, 01:19

Tubbycore

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ach verdammt du hast recht Freude

nun sollte es stimmen..

Aber das Programm zeigt es trotzdem nicht richtig an. Ich glaub ich lass das aber mal mit dem visualisieren. Komisch ist nur wenn ich die beiden Ebenen als Normalenform eintippen dann stimmts plötzlich o0. Versteh ich zwar nicht aber nungut.

Aufgabe gelöst und ich Danke dafür smile

19.05.2012, 01:37

opi

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Gern geschehen!

Vielleicht fordert Dein Programm (welches nutzt Du?) statt der Eingabe
$\begin{eqnarray*} E_1:x_1-x_2+3x_3+1=0 \end{eqnarray*}$

ja
$\begin{eqnarray*} E_1:x_1-x_2+3x_3=-1 \end{eqnarray*}$

Dies könnte sich unterschiedlich auswirken. Augenzwinkern

19.05.2012, 01:55

Tubbycore

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yepp du hast wiedermal recht!
Der koeffizient muss nach dem Komma stehen. Oh man^^
Ich habe Vektoris3D aber nur die freie Version. Zum Anzeigen reichts allemal smile

Nun ein doppeltes Dankeschön Augenzwinkern

19.05.2012, 02:09

opi

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Zitat:

Original von Tubbycore
yepp du hast wiedermal recht!

Ein blindes Huhn findet gelegentlich Körner. smile

Freut mich, wenn ich Dir helfen konnte.
Das Programm werde ich mir mal anschauen, die Grafik hat mir gefallen.
Wink

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