Taylorpolynome

19.05.2012, 13:22

Marcel 19

Taylorpolynome

Meine Frage:
1.)Es sei

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t} } \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie die Taylorpolynome Tf,0,0, Tf,1,0 und Tf,2,0.

2. Zwei Zugfedern mit Federkonstante D sind im Abstand L zueinander gegen Überliegend
eingespannt. In Ruhelage habe jede einzelne Feder die Federlänge 0 ? 1/2L. Das Federsystem
wird Verbindungspunkt beider Federn entlang der x?Achse ausgelenkt.

(a) Sei Fges(x) die erforderliche Federkraft bei Auslenkung des Systems um denWeg x.
Zeigen Sie, dass Fges(x) durch den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} Fges(x)=-2*D*x*(1-\frac{lo}{L/2}*\frac{1}{\sqrt{1+(2x/L)^{2} } } ) \end{eqnarray*}$

berechnet wird.

(b) Wie hängt Fges für kleine Auslenkungen, d. h. für x L/2 , von x ab?

(c) Gilt für kleine Auslenkungen in diesem System das Hooksche Gesetz? Ist also Fges
proportional zu x? Geben Sie gegebenenfalls die Proportionalitätskonstante an.

Meine Ideen:
ich bräuchte dringent hilfe!

19.05.2012, 19:46

HueHang

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Zu 1)
Wenn man das Taylerpolynom aufstellen soll, dann muss man zuerst die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ n-mal ableiten. Dann musst du den Entwicklungspunkt in die jeweilige Ableitung einsetzen und fertig ist dein Taylorpolynom.

d.h.: Für $\begin{eqnarray*} T_{2,0} \end{eqnarray*}$ musst du die erste und zweite Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bilden und der Entwicklungspunkt ist 0

Hinweis: Das Taylorpolynom ist so definiert:
$\begin{eqnarray*} T_{n,a} := \sum_{k=0}^n \frac{f^{k}(a)}{k!} * (x-a)^k \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 13:42

Marcel 19

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1 Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\sqrt{1+t} } \end{eqnarray*}$

oder?

und wie geht jetzt die 2 ableitung??

20.05.2012, 14:25

HueHang

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Deine Ableitung ist fast richtig; Form am besten so um:
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t}}= (1+t)^{-0,5} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du ganz normal ableiten smile

20.05.2012, 15:07

Marcel 19

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1 ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{-0,5}{(1+t^0,5)} \end{eqnarray*}$

2 ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{0,75}{(1+t^2,5)} \end{eqnarray*}$

oder?

20.05.2012, 15:36

HueHang

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$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t}} = (1+t)^{-0,5} \end{eqnarray*}$

1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f(t)' = -\frac{1}{2} * (1+t)^{-1,5} = -\frac{1}{2} * \frac{1}{{(t+1)}^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung solltest du dann hinkriegen.

20.05.2012, 15:52

Marcel 19

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was mach ich weiter wenn ich die beiden ableitungen habe??

20.05.2012, 16:04

HueHang

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Gut, jetzt hast du beide Ableitungen. Nun musst du lediglich den Entwicklungspunkt, der ja angegeben ist, in die Ableitungen einsetzen.

z.B.:
Sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Entwicklungspunkt.
$\begin{eqnarray*} f(x) = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = .... \end{eqnarray*}$
und so weiter...

Nun hast du eigentlich alles und musst nur in die Formel, die ich einige Posts oben angegeben habe, einfügen. Am Ende kannst du die Summe noch vielleicht ein wenig kürzen und fertig ist dein Polynom smile

Ich mach mal den ersten Schritt für dich:

$\begin{eqnarray*} T_{2,0} = \frac{f(0)}{0!}*(x-0)^0 + ... \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 16:20

Marcel 19

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ich verstehe nicht ob ich den punkt jetzt in die ableitung hinzufügen muss oder in diese formel??

20.05.2012, 16:32

HueHang

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Hier ist nochmal die Formel für das Aufstellen eines Taylor-Polynoms:
$\begin{eqnarray*} T_{n,a} := \sum_{k=0}^n \frac{f^{k}(a)}{k!} * (x-a)^k \end{eqnarray*}$

Du musst zum Beispiel $\begin{eqnarray*} T_{2,0} \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ aufstellen.
Das Taylor-Polynom ist nichts anderes als eine (lange) Summe.

Die Ableitungen sind in der Form $\begin{eqnarray*} f^{k} \end{eqnarray*}$ gekennzeichnet. $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ steht für die k-te Ableitung.
Oben siehst du, dass man immer den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in die Ableitungen bzw. am Anfang in die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einfügt. Unser Entwicklungspunkt ist 0.
Im Zähler steht also immer die 0., 1., 2., 3., ... Ableitung im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Also
$\begin{eqnarray*} T_{2,0} = \frac{f(0)}{0!}*(x-0)^0 + \frac{f'(0)}{1!}*(x-0)^1 + \frac{f''(0)}{2!}*(x-0)^2 \end{eqnarray*}$

EDIT:
bin wieder ab 21 Uhr erreichbar. Hoffe du bekommst in der Zeit von anderen Hilfe.

21.05.2012, 17:03

Marcel 19

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Wie gehe ich jetzt weiter vor bei der Feder??

22.05.2012, 18:16

Dopap

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Zitat:

Original von HueHang
Deine Ableitung ist fast richtig; Form am besten so um:
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t}}= (1+t)^{-0,5} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du ganz normal ableiten smile

Das ist für den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$ eine Binomialreihe

$\begin{eqnarray*} (1+t)^{-0,5}= \sum_{\mu=0}^{\infty} \binom {-0.5} \mu t^{\mu} ~ \land |t|<1 \end{eqnarray*}$

Das spart viel Arbeit.

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