Matrix bzgl einer Standardbasis angeben

19.05.2012, 14:06

xbody

Matrix bzgl einer Standardbasis angeben

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein fest gewählter Vektor, und sei f: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die Spiegelung mit Spiegelungsachse $\begin{eqnarray*} \left\{ \alpha \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) | \alpha \in \mathbb{R} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Geben Sie die Matrix für f (bzgl der Standardbasis) an.

Berechnen Sie zuerst die Projektion der Standardbasisvektoren auf die Spiegelungsachse. Sie können annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ die Länge 1 hat, also dass $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun die Standardbasis ist doch hierbei $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ .

Aber was heißt es nun genau eine Matrix bzgl. einer Standardbasis anzugeben. Ich weiß irgendwie nicht wie das aussieht, bzw. wie man das überhaupt macht. Ebenso was hat Projekton damit zu tun? Das hatten wir noch nicht mal in der Vorlesung, habe ich aber dann doch hinbekommen mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren.
(Also die Projektion ist doch der sozusagen der Schatten eines Vektors im 90 Grad Winkel auf einen anderen Vektor, oder? Habe ich doch das richtige berechnet?)

19.05.2012, 17:44

frank09

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RE: Matrix bzgl einer Standardbasis angeben

Zitat:

Aber was heißt es nun genau eine Matrix bzgl. einer Standardbasis

Der erste Spaltenvektor der Matrix gibt dir an, auf welchen Vektor der erste Standard-Basisvektor abgebildet wird und der zweite eben auf welchen der zweite S-Basisvektor abgebildet wird. Wenn du dir die Spiegelachse zeichnest sowie den 1. Basisvektor, den Projektionsvektor und den Spielgelvektor, lassen sich die Zusammenhänge gut erkennen.

19.05.2012, 18:53

xbody

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RE: Matrix bzgl einer Standardbasis angeben
Danke, genau das habe ich gemacht und es hat sich erledigt, bevot ich den Post hier gelesen habe.^^

20.05.2012, 22:29

sdpk6

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sorry
...sorry aber ich kapier nicht wie ich auf den 1. Basisvektor, den Projektionsvektor und den Spielgelvektor kommen soll. kannst dus en bissl detailierter erklären oder einfach an dem beispiel wie ich ausrechnen soll?

21.05.2012, 02:02

frank09

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RE: sorry
Die Standardbasis mit dem 1. Basisvektor $\begin{eqnarray*} \vec{b_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hast du doch selbst angegeben.

Wie man den Projektionsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ errechnet, sieht man auf der Grafik. Die Spiegelachse $\begin{eqnarray*} \alpha \cdot\vec{e_1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} {\color {red}rot} \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du nur noch den Spiegelvektor $\begin{eqnarray*} \vec{b_1'} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{b_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ ausdrücken.

19.05.2015, 02:34

Jenz1992

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Matrix bzgl Standardbasis, Spiegelung, Projektion
Hallo,
ich weiss der Beitrag ist inzwischen 3 Jahre alt, aber ich habe die gleiche Aufgabe.
Ich habe eine Frage zu dem letzten Beitrag von frank09.
Auf der Grafik steht der Projektionsvektor als: p = (b_1 * e_1) * e_1
Wie rechne ich den aus?

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \textrm{Da das Kreuzprodukt nicht assoziativ ist gilt:} c(\vec{a} \times \vec{b} ) = (c \vec{a} ) \times \vec{b} = \vec{a} \times (c \vec{b})\\ \textrm{Angewendet wäre das:} \begin{vmatrix} 1 & x^2 \\ 0 & y^2 \end{vmatrix} = 1y^2 - x^2*0 \end{eqnarray*}$

Kann das sein?
Und wie kann ich nun den Spiegelvektor durch b_1 und p ausdrücken?

Dankeschön

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