Sesquilinarform, Involution

19.05.2012, 14:18

1nstinct

Sesquilinarform, Involution

Guten Mittag alle miteinander,

Es sei $\begin{eqnarray*} \phi : V \times V \to K \end{eqnarray*}$ eine Sesquilinearform zu einer nicht-trivialen Involution $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ eines Körpers K.

Sei $\begin{eqnarray*} \forall v \in V: \phi(v,v)=0 \end{eqnarray*}$ . Zu folgern gilt es: $\begin{eqnarray*} \phi\equiv 0 \end{eqnarray*}$ .

Zunächst hätte ich eine allgemeine Fragen smile

Was bedeuted, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Sesqulinearform zu einer nicht-trivialen Involution ist?

Heißt das: $\begin{eqnarray*} v,w\in V: \phi (v,w)=\tau (x) \end{eqnarray*}$ oder wie ist das gemeint?

Vielleicht könnte mir jemand diese Frage zuerst beantworten smile

Danke schonmal

20.05.2012, 19:00

Reksilat

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RE: Sesquilinarform, Involution
Hallo 1nstinct,

Das heißt, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in einem Argument linear ist (zum Beispiel im zweiten), also:
$\begin{eqnarray*} \phi(w,av_1+bv_2)=a\phi(w,v_1)+b\phi(v_2,w) \end{eqnarray*}$
und semilinear im anderen Argument, also:
$\begin{eqnarray*} \phi(av_1+bv_2,w)=\tau(a)\phi(v_1,w)+\tau(b)\phi(v_2,w) \end{eqnarray*}$

Jeweils mit $\begin{eqnarray*} a,b\in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,w\in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ist ein Körperautomorphismus der Ordnung 2, d.h. $\begin{eqnarray*} \tau:K\to K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tau\circ \tau=id. \end{eqnarray*}$
Das ganze stellt eine Verallgemeinerung des Standardskalarprodukts auf komplexen Vektorräumen dar. Dann ist der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und die Involution ist die komplexe Konjugation.

Gruß,
Reksilat.

20.05.2012, 19:27

1nstinct

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RE: Sesquilinarform, Involution
Ich danke dir zu aller erst für deine Antwort. ( und vorallem für den letzten Satz, der macht einiges klar smile

)

Also muss ich zwei Element aus V nehmen ( $\begin{eqnarray*} v,w \in V \end{eqnarray*}$ ) und zeigen, dass, falls $\begin{eqnarray*} \phi (v,v)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, auch $\begin{eqnarray*} \phi (v,w)=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Kann ich einfach annehmen, dass ich $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \alpha*v \end{eqnarray*}$ schreiben kann, $\begin{eqnarray*} \alpha \in K \end{eqnarray*}$ ?

Gruß

21.05.2012, 09:48

Reksilat

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RE: Sesquilinarform, Involution
Ja, Du nimmst zwei Elemente $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ und musst $\begin{eqnarray*} \phi(v,w)=0 \end{eqnarray*}$ zeigen. Laut Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray*} \phi(v,v)=\phi(w,w)=0 \end{eqnarray*}$

Nein, Du kannst nicht einfach $\begin{eqnarray*} w=\alpha v \end{eqnarray*}$ annehmen. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ kann mehrdimensional sein und somit können auch linear unabhängige Vektoren in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ existieren.

Tipp:
Betrachte $\begin{eqnarray*} \phi (v+w,v+w) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(v+\lambda w,v+\lambda w) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau(\lambda)\neq \lambda \end{eqnarray*}$ . (Ein solches $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss existieren - warum?!)

21.05.2012, 15:53

1nstinct

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RE: Sesquilinarform, Involution
Ich danke dir für deine Antwort.

War ja eigendlich gar nicht so schwierig Augenzwinkern

Danscheschön nochmal Wink

03.09.2012, 15:21

h4mmer

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RE: Sesquilinarform, Involution
Hallo zusammen smile

Dieses Thema ist zwar schon älter (und dem Anschein nach auch geklärt), ich bin allerding bei meiner Lösung unsicher.

Ich bin wiefolgt vorgegangen:

Zitat:

Tipp: Betrachte $\begin{eqnarray*} \phi (v+w,v+w) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(v+\lambda w,v+\lambda w) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau(\lambda)\neq \lambda \end{eqnarray*}$ . (Ein solches $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss existieren - warum?!)

So ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss existieren, da $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ eine nicht-triviale Involution ist.

$\begin{eqnarray*} \phi (v+w,v+w)=\phi (v,w)+\phi (w,v)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \phi (v,w)=-\phi (w,v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(v+\lambda w,v+\lambda w)=\phi (v,\lambda w)+\phi (\lambda w,v)=\lambda \cdot \phi(v,w)+ \tau (\lambda) \cdot \phi(w,v)=-\lambda \cdot \phi (w,v)+\tau (\lambda) \cdot \phi (w,v)=0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \tau (\lambda) \end{eqnarray*}$ flogt $\begin{eqnarray*} \phi(w,v)=0 \end{eqnarray*}$

Kann man das so stehen lassen?

Vielen Dank schonmal, Gruß

04.09.2012, 09:16

Reksilat

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RE: Sesquilinarform, Involution
Ja, sieht gut aus.
Freude

Gruß,
Reksilat.

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Sesquilinarform, Involution

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