Auf Untervektorraum prüfen & mehr

19.05.2012, 15:12

SilverShadow

Auf Untervektorraum prüfen & mehr

Hallo!

Habe Probleme bei einer Aufgabe (siehe Anhang).

a) Also nachzuprüfen ist ja jeweils folgendes:
1. U enthält den Nullvektor
2. $\begin{eqnarray*} x,y \in U \Rightarrow x+y \in U \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} x \in U, s \in R \Rightarrow s*x \in U \end{eqnarray*}$

U:
Für U gelten soll ja $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$ gelten. Daraus folgt dann auch $\begin{eqnarray*} x_1=x_4 \end{eqnarray*}$ .

1) 0+0+0=0 und 0+0+0=0 ist erfüllt für den Nullvektor (0,0,0,0)
2) Für 2 Vektoren x,y in U muss folgendes gelten: $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0 \end{eqnarray*}$
Kann ich da jetzt dann die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1+y_2+y_3=0 \end{eqnarray*}$ für 0 einsetzen? Dann bekomme ich eine wahre Aussage, das dann noch für die andere Bed. machen; bewiesen?
3) $\begin{eqnarray*} s*(x_2)=-s*(x_1)-s*(x_3) \end{eqnarray*}$ ; Bedingung einsetzen, w. A., und dann für die andere Bedingung nachprüfen?

V läuft dann analog dazu.
Wie gebe ich denn dann die Elemente von V und U konkret an?

b) Reicht es hier die 4 Bedingungen in ein LGS zu packen und aufzulösen?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe Wink

20.05.2012, 09:26

DP1996

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RE: Auf Untervektorraum prüfen & mehr
Hallo,

Zitat:

Original von SilverShadow
2) Für 2 Vektoren x,y in U muss folgendes gelten: $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)=0 \end{eqnarray*}$
Kann ich da jetzt dann die Bedingung $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1+y_2+y_3=0 \end{eqnarray*}$ für 0 einsetzen? Dann bekomme ich eine wahre Aussage, das dann noch für die andere Bed. machen; bewiesen?

Wenn du das in der richtigen Schlussrichtung machst, dann ja (also du musst sagen: Gegeben seien zwei Vektoren in U, die erfüllen dann jeweils die und die Eigenschaften, und die Summe lässt sich so und so umformen...

Also einfach noch ein bisschen schöner aufschreiben, wenn ich dich recht verstanden hab, ist der Gedanke aber der richtige.

Zitat:

Original von SilverShadow
3) $\begin{eqnarray*} s*(x_2)=-s*(x_1)-s*(x_3) \end{eqnarray*}$ ; Bedingung einsetzen, w. A., und dann für die andere Bedingung nachprüfen?

Ich würde auklammern, dann geht's noch schneller.

Zitat:

Original von SilverShadow
Wie gebe ich denn dann die Elemente von V und U konkret an?

Jeder Unterraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist eine Gerade durch den Ursprung, oder eine Ebene durch den Ursprung, oder ein Raum, der den Ursprung enthält...
Und dafür gibts Parameterdarstellungen.

Zitat:

Original von SilverShadow
b) Reicht es hier die 4 Bedingungen in ein LGS zu packen und aufzulösen?

Ja, so müsste es funktionieren.

20.05.2012, 14:38

SilverShadow

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Gut, den Nachweis habe ich jetzt (was für eine Schreibarbeit... :boese smile

.
Ja was die Parameterdarstellung ist wusste ich, aber ich weiß nicht wie ich die Elemente von U und V konkret in einer Ebene/Gerade angeben könnte verwirrt

Bei b) kommt dann ein Vektor raus, der von einer v Koordinate abhängig ist, kann man den dann (rein formal) so angeben:" v:= s*(v1,2v1,-3v1,v1) mit s in R."?

Merci beaucoup Wink

21.05.2012, 16:11

DP1996

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Zitat:

Original von SilverShadow
kann man den dann (rein formal) so angeben:" v:= s*(v1,2v1,-3v1,v1) mit s in R."?

Das ist doppelt gemmoppelt. v1 ist eine Vektorkoordinate und damit bereits (für sich genommen) eine reelle Zahl, die du aber frei wählen kannst. Und s kannst du auch frei wählen.

Ich wäre für $\begin{eqnarray*} \vec{v}=\lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

21.05.2012, 16:22

SilverShadow

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Stimmt, so wärs logischer.

Könntest du mir noch einen Tipp zu der Parameterdarstellung geben? verwirrt

21.05.2012, 16:24

DP1996

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Denk mal zurück an die Schulzeit, wie da die Paramterdarstellung einer Geraden aussah. Vielleicht fällt dir dann auf, was ich dir eben schon hingepinselt hab. Augenzwinkern

21.05.2012, 16:43

SilverShadow

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Naja, Aufpunkt und Richtungsvektor.
Für beide UVR U und V habe ich jeweils 2 Bedingungen.
Aber was nehme ich davon jetzt als Aufpunkt und als Richtungsvektor?

Müssten ja die Koeffizienten vor dem x sein. Aber bei der 1. Bedingung x1+x2+x3=0 hätte ich keine x4 Koordinate für den Aufpunkt (1,1,1,x4)

22.05.2012, 10:46

SilverShadow

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Habs gelöst, vielen vielen Dank nochmals für die Hilfe! smile

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