Gravitationsfeld

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19.05.2012, 15:33	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Gravitationsfeld Moin, ich hab vor 2 Wochen mit meinem Physik Studium angefangen und versteh leider bei den ersten übungsaufgaben nicht viel. könnte mir vielleicht jemand sagen um was es da eigentlich geht? Also dieser Nabla Operator baut doch einen neuen Vektor, der die in die Richtung der größten Änderung der Funktion zeigt oder? Aber was ist: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{r} \end{eqnarray}$ ich kann doch nur das Vektorprodukt zwischen 2 Vektoren bilden und nicht zwischen dem Operator und einem Vektor oder soll das das quasi nabla von vektor r sein "kreuz" vektor r? $\begin{eqnarray} \Rightarrow\overrightarrow{\nabla}\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{r}<br /> \end{eqnarray}$ Vektoroperatoren a) Bitte berechnen Sie: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}r,\,\overrightarrow{\nabla}\overrightarrow{r},\,\overrightarrow{\nabla}\frac{1}{r},\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{r},\,\overrightarrow{\nabla}f(r),\,\overrightarrow{\nabla}(f(\overrightarrow{r})\frac{\overrightarrow{r}}{r}) \end{eqnarray}$ b) Bitte testen Sie, ob i)die Coulombkraft $\begin{eqnarray} \overrightarrow{F_{C}}=const\cdot\frac{1}{r^{2}}\overrightarrow{e_{r}} \end{eqnarray}$ ii)die Lorentzkraft $\begin{eqnarray} \overrightarrow{F_{L}}=const\cdot(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{B}) \end{eqnarray}$ konservative Kräfte darstellen.
19.05.2012, 20:52	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht schlecht für die ersten 2 Wochen! da wird aber nicht lange gefackelt. In der Physik gibt es ja durchaus Anwendungen für diese Liste von operatoren ( siehe Radialfeld oder Lorenzkraft ) beim physikerboard.de gibt es tatsächlich Leute, die sich damit genau auskennen.
20.05.2012, 10:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gravitationsfeld Diese Art der Notation ist, obwohl bei Mathematikern unbeliebt, recht nützlich und auch leicht zu verstehen. Dazu schreibt man sich den Nabla-Operator so als Vektor auf: $\begin{eqnarray} \vec \nabla = \begin {pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Da steht noch nichts hinter den Ableitungen, auf das sie wirken sollen. Anschließend führt man die Operation mit dem $\begin{eqnarray} \vec \nabla \end{eqnarray}$ nachfolgenden Term formal so aus, als sei $\begin{eqnarray} \vec \nabla \end{eqnarray}$ ein normaler Vektor. Dadurch kommt automatisch hinter jede Ableitung ein Term, auf den sie wirken soll. Also zum Beispiel: $\begin{eqnarray} \vec \nabla r = \begin {pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\end {pmatrix} r = \begin {pmatrix} \frac{\partial r}{\partial x} \\ \frac{\partial r}{\partial y} \\ \frac{\partial r}{\partial z}\end {pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r = \sqrt {x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \vec \nabla \vec r = \vec \nabla \cdot \vec r =\begin {pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z}\end {pmatrix} \cdot \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end {pmatrix} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z}= ? \end{eqnarray}$ Völlig analog gehst du bei $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times \vec r \end{eqnarray}$ vor. Nur das das Ergebnis diesmal ein Vektor ist.
20.05.2012, 16:01	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gravitationsfeld Danke! hat mir sehr geholfen! kann man denn allgemein sagen dass der Nabla Operator wenn er Teil des Skalarproduktes ist aus einem nicht Vektor einen Vektor macht und aus einem Vektor eine Zahl? Gruß Nickel
20.05.2012, 16:42	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gravitationsfeld Das ist nicht so ganz richtig ausgedrückt. Wenn der Nabla-Operator auf ein Skalarfeld $\begin{eqnarray} f(\vec r) \end{eqnarray}$ wirkt, entsteht ein Vektorfeld, das ist richtig. Diese Operation ist aber ein kein Skalarprodukt. Es ist die Gradientenbildung. $\begin{eqnarray} \vec \nabla f(\vec r)= \operatorname {grad} f(\vec r) \end{eqnarray}$ Wenn der Nabla-Operator skalar mit einem Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec f (\vec r) \end{eqnarray}$ multipliziert wird, entsteht ein Skalarfeld. Das ist die Bildung der Divergenz. In Ausnahmefällen , z. B. bei $\begin{eqnarray} \vec f (\vec r)= \vec r \end{eqnarray}$ kann das entstehende Skalarfeld konstant sein. Dann sieht es aus wie eine Zahl. $\begin{eqnarray} \vec \nabla \cdot \vec f (\vec r)= \operatorname {div} \vec f (\vec r) \end{eqnarray}$ Wirkt der Nabla-Operator als Vektorprodukt auf ein Vektorfeld, ist das die auch als Rotation bezeichnete Operation. $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times \vec f (\vec r)= \operatorname {rot} \vec f (\vec r) \end{eqnarray}$
20.05.2012, 17:30	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
okay und muss man sich das merken oder kann man sich das auch anschaulich irgendwie herleiten? Danke Nickel
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20.05.2012, 18:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese drei Sachen muss man sich merken. Das sind ja Definitionen der Notation. Hat man die aber mal intus, kann man viele nützliche Formeln, die man sich gar nicht alle merken kann, bei Bedarf damit intuitiv herleiten. Diese Herleitung ist kein Beweis im mathematischen Sinne. Es ist ein schöner Ersatz für ein gutes Gedächtnis.
20.05.2012, 22:00	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das dann so richtig? kann man da jetzt noch weiter machen wenn Vektor r der Kugelvektor ist? also für x y und z die Komponenten des Kugelvektors einsetzen? $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix}\frac{\delta}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta}{\delta y}\\<br /> \frac{\delta}{\delta z}<br /> \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\delta z}{\delta y}-\frac{\delta y}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta x}{\delta z}-\frac{\delta z}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta y}{\delta x}-\frac{\delta x}{\delta y}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ansonsten vielen dank!
20.05.2012, 22:38	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
und kann man das auch so machen? $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}\times(f(r)\frac{\overrightarrow{r}}{r})=\begin{pmatrix}\frac{\delta z}{\delta y}-\frac{\delta y}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta x}{\delta z}-\frac{\delta z}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta y}{\delta x}-\frac{\delta x}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}\cdot\frac{f(r)}{r} \end{eqnarray}$ Gruß Nickel
21.05.2012, 09:44	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec\nabla \times \vec r \end{eqnarray}$ hast du richtig interpretiert. Es sind jetzt nur noch die Ableitungen auszurechnen. Ich würde aber $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ nicht Kugelvektor nennen. Das wäre gerechtfertigt, wenn der Vektor eine feste Länge hätte. Die hat er aber hier nicht. Also ist es einfach der allgemeine Ortsvektor. Bei $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times (\frac{f(r)}{r} \vec r) \end{eqnarray}$ hast du aber vergessen, dass der Nabla-Operator ein Ableitungsoperator ist. Wirkt er auf ein Produkt, ist deshalb die Produktregel anzuwenden. Wie das ausschaut, ergibt sich ganz intuitiv. Ich betrachte zunächst mal allgemein einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times (f\vec g) \end{eqnarray}$ . Dabei habe ich zur Vereinfachung der Schreibweise die Argumente der Funktionen weggelasssen. Das Ergebnis muss nach den obigen Definitionen ein Vektorfeld sein. Lässt man $\begin{eqnarray} \vec \nabla \end{eqnarray}$ auf f wirken, ergibt sich schon ein Vektor. Damit der ein Vektor bleibt, kann die Verknüpfung mit $\begin{eqnarray} \vec g \end{eqnarray}$ nur das Vektorprodukt sein. Lässt man $\begin{eqnarray} \vec \nabla \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \vec g \end{eqnarray}$ wirken, muss das in Form des Vektorprodukts geschehen, damit ein Vektorfeld entsteht. Die Multiplikation mit dem Skalarfeld f erfolgt dann wie die Multplikation jedes Vektors mit einem Skalar. Der Vektor bleibt dabei ein Vektor. Es ergibt sich also folgende Regel: $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times (f\vec g)=(\vec \nabla f)\times \vec g +f (\vec \nabla \times \vec g) \end{eqnarray}$ Das ist, wie schon gesagt, kein mathematischer Beweis der Formel. Aber man kommt so mit ziemlich tödlicher Sicherheit zu den richtigen Formeln. In deinem Fall ist nun das Skalarfeld wiederum ein Produkt bzw. Quotient. Wie nun ein Ausdruck $\begin{eqnarray} \vec \nabla (fg) \end{eqnarray}$ mit zwei Skalarfeldern f und g zu interptretieren ist, solltest du nach obigen Ausführungen selbst herausfinden können.
21.05.2012, 13:00	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
super danke! jetzt bin ich schon viel weiter noch eine klitzekleine Frage was aber, passiert jetzt wenn ich nabla auf 2 Vektoren anwende. Also bei meinen Aufgaben wäre das zum Beispiel: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}\times(f(\overrightarrow{r})\frac{\overrightarrow{r}}{r}) \end{eqnarray}$ würde ich da jetzt so vorgehen: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\nabla}\times f(\vec{r})+\overrightarrow{\nabla}\times\frac{\overrightarrow{r}}{r} \end{eqnarray}$
21.05.2012, 14:04	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist verkehrt und das macht mich ein wenig traurig, weil ich das doch gerade oben erklärt habe, nämlich wie man $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times (f \vec g) \end{eqnarray}$ oder ausführkicher $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times (f(\vec r) \vec g (\vec r)) \end{eqnarray}$ anzugehen hat. Du musst dort nur für $\begin{eqnarray} f(\vec r) \end{eqnarray}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray} f(\vec r)/r \end{eqnarray}$ einsetzen und für $\begin{eqnarray} \vec g(\vec r) \end{eqnarray}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ . Den Faktor 1/r kannst du wahlweise auch dem $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ zuschlagen. Den Ausdruck $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times f(\vec r) \end{eqnarray}$ gibt es doch gar nicht, weil f kein Vektorfeld ist, sondernn ein Skalarfeld.
21.05.2012, 16:03	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, ich wusste nicht das eine Funktion von einem Vektor abhängig sein kann aber im Ergebnis kein Vektor ist. Aber na klar geht das das... Ähm hab jetzt einmal alles eingesetzt. ist etwas länger geworden: eigentlich geht es mir nur um den letzten Schritt. Kann ich da noch was vereinfachen? $\begin{eqnarray} \vec{\nabla}\times(f(\vec{r})\frac{\vec{r}}{r})=(\vec{\nabla}f(\vec{r}))\times\frac{\vec{r}}{r}+f(\vec{r})(\vec{\nabla}\times\frac{\vec{r}}{r})=(\vec{\nabla}f(\vec{r}))\times\vec{e}_{r}+f(\vec{r})(\vec{\nabla}\times\vec{e}_{r}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})}{\delta y}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})}{\delta z}<br /> \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\frac{x}{r}\\<br /> \frac{y}{r}\\<br /> \frac{z}{r}<br /> \end{pmatrix}+f(\vec{r})\left(\begin{pmatrix}\frac{\delta}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta}{\delta y}\\<br /> \frac{\delta}{\delta z}<br /> \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}\frac{x}{r}\\<br /> \frac{y}{r}\\<br /> \frac{z}{r}<br /> \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}\frac{\delta f(\vec{r})\frac{z}{r}}{\delta y}-\frac{\delta f(\vec{r})\frac{y}{r}}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})\frac{x}{r}}{\delta z}-\frac{\delta f(\vec{r})\frac{z}{r}}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})\frac{y}{r}}{\delta x}-\frac{\delta f(\vec{r})\frac{x}{r}}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}+f(\vec{r})\begin{pmatrix}\frac{\delta\frac{z}{r}}{\delta y}-\frac{\delta\frac{y}{r}}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta\frac{x}{r}}{\delta z}-\frac{\delta\frac{z}{r}}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta\frac{y}{r}}{\delta x}-\frac{\delta\frac{x}{r}}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta y}-\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})}{\delta z}-\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})}{\delta x}-\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}+f(\vec{r})\begin{pmatrix}\frac{\delta\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\delta y}-\frac{\delta\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\delta z}-\frac{\delta\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\delta x}-\frac{\delta\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}=<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix}\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta y}-\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})}{\delta z}-\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f(\vec{r})}{\delta x}-\frac{\delta f(\vec{r})}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}+f(\vec{r})\begin{pmatrix}-\frac{yz}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}+\frac{zy}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\<br /> -\frac{xz}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}+\frac{xz}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\<br /> -\frac{xy}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}+\frac{yx}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\delta f\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}}{\delta y}-\frac{\delta f\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}}{\delta z}\\<br /> \frac{\delta f\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}}{\delta z}-\frac{\delta f\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}}{\delta x}-\frac{\delta f\begin{pmatrix}x\\<br /> y\\<br /> z<br /> \end{pmatrix}}{\delta y}<br /> \end{pmatrix}=? \end{eqnarray}$
21.05.2012, 18:15	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat die Vektoralgebra und -analysis erfunden, damit man nicht solche Ungetüme von Ausdrücken schreiben muss, wie du es getan hast. Man sollte, solnge es geht, nicht zur Komponentenschreibweise wechseln. Und auch das Endergebnis sollte möglichst in Vektorschreibweise angegeben werden. Ich habe auch keine Lust, das durchzulesen. Es sieht aber keineswegs zum Schluss so aus, wie es ausehen sollte. Ich ziehe das jetzt mal durch. Vielleicht hilft dir ein durchgerechnetes Beispiel mehr als allgemeine Hilfestellungen. Zunächst ist festzuhalten: $\begin{eqnarray} (1) \quad \vec a \times \vec a =0 \end{eqnarray}$ Das sollte bekannt sein. $\begin{eqnarray} (2) \quad \vec \nabla \times \vec r = 0 \end{eqnarray}$ Das hast du ja schon mal ausgerechnet. Es fehlte nur noch das Endergebnis. $\begin{eqnarray} (3) \quad \vec \nabla r = \frac {\vec r}{r} =\vec e_r \end{eqnarray}$ Das muss man einfach komponentenweise ausrechnen. $\begin{eqnarray} (4) \quad \vec \nabla f(r) =f'(r) \vec \nabla r = f'(r) \vec e_r \end{eqnarray}$ Das erste Gleichheitszeichen ergibt sich aus der Kettenregel. Deine erste Zeile ist richtig und der Rest geht jetzt kurz und schmerzlos. Allerdings muss es $\begin{eqnarray} f(r) \end{eqnarray}$ heißen und nicht $\begin{eqnarray} f(\vec r) \end{eqnarray}$ , denn das stand in deiner Ausgangsformel. $\begin{eqnarray} \vec \nabla \times \vec e_r= \vec \nabla \times \frac{\vec r}{r}= \vec \nabla (\frac{1}{r}) \times \vec r + \frac {1}{r} \vec \nabla \times \vec r = \vec \nabla (\frac{1}{r}) \times \vec r \end{eqnarray}$ Der zweite wegen (2). $\begin{eqnarray} \vec \nabla (\frac{1}{r}) = -\frac {1}{r^2} \nabla r = - \frac {\vec r}{r^3} \end{eqnarray}$ Der erste Schritt wegen (4) und der zweite wegen (3). Damit hat wegen (1): $\begin{eqnarray} \vec \nabla (\frac {1}{r}) \times \vec r=0 \end{eqnarray}$ Und damit ist dein ganzer zweiter Summand 0. Und der erste Summand wird wegen (4) und (1) auch 0. Also ist das Endergebnis 0.
22.05.2012, 00:18	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
kk vielen dank. Das einzige was ich noch nicht wirklich nachvollziehen kann ist: $\begin{eqnarray} \vec{\nabla}f(r)=f'(r)\vec{\nabla}r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{\nabla} \end{eqnarray}$ Du schreibst man wendet die Kettenregel an, aber das würde ich doch nur tun wenn ich nach r ableite oder nicht? Der Nabla Operator leitet doch nach x,y und z ab. Wenn ich den Nabla Operator auf f(r) anwende kommt bei mir das raus. $\begin{eqnarray} \vec{\nabla}f(r)=\begin{pmatrix}\frac{\delta f(r)}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f(r)}{\delta y}\\<br /> \frac{\delta f(r)}{\delta z}<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\delta f(r)}{\delta x}\cdot\frac{\delta r}{\delta x}\\<br /> \frac{\delta f(r)}{\delta y}\cdot\frac{\delta r}{\delta y}\\<br /> \frac{\delta f(r)}{\delta z}\cdot\frac{\delta r}{\delta z}<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\delta f(r)}{\delta x}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\<br /> \frac{\delta f(r)}{\delta y}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\<br /> \frac{\delta f(r)}{\delta z}\cdot\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}<br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danke das du dir soviel zeit nimmst das alles zu erklären! Wäre echt aufgeschmissen gewesen ohne deine Hilfe! Gruß Nickel
22.05.2012, 07:58	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schlicht die Kettenregel falsch angewandt. ich betrachte mal nur die x-Komponente von $\begin{eqnarray} \vec \nabla f(r) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \vec \nabla f(r)_x = \frac {\partial}{\partial x}f(r)=\frac {\partial f(r)} {\partial r}\frac {\partial r}{\partial x} =f'(r) \frac {x}{r} \end{eqnarray}$
22.05.2012, 16:38	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
aaaach der Nebel lichtete sich! Vielen Danke! Gruß Nickel

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