E(X^2) = 0 und V(X) = 0

19.05.2012, 16:02

Nuit Blanche

E(X^2) = 0 und V(X) = 0

Hallo Leute,

ich komme bei einer Aufgabe auf meinem Stochastik-Übungszettel nicht weiter.
Und zwar haben wir in der Vorlesung den Erwartungswert und die Varianz eingeführt und in der folgenden Aufgabe soll ich zeigen:

$\begin{eqnarray*} E(X^{2}) = 0 \Leftrightarrow P(X = 0) = 1, X \in L^{2}(\Omega, P) \end{eqnarray*}$

und weiterhin

$\begin{eqnarray*} V(X)= 0 \Leftrightarrow \exists c \in \mathbb R : P(X=c) =1. \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung hatten wir den Trick, $\begin{eqnarray*} E(X^{2}) \end{eqnarray*}$ anders zu schreiben als $\begin{eqnarray*} E(X(X-1)) + E(X) \end{eqnarray*}$ , aber das bringt mich auch nicht weiter. Andere Hilfsmittel wie die Tschebyscheff-Ungleichung hatten wir auch noch nicht eingeführt.

Ich hoffe, ihr könnt etwas mit dieser Aufgabe anfangen, und danke euch schon im Voraus.
Nuit Blanche

19.05.2012, 16:51

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
In der erstehn Aufgabe ist es sinnvoll, beide Richtungen getrennt zu zeigen, zumindest die Rückrichtung ist recht schnell erledigt, wenn man sich mal die Definition des Erwartungswertes anschaut.
Die Hinrichtung ist zwar etwas mehr Aufwand, ebnötigt aber auch keine darüber hinausgehenden Kenntnisse.

Bei der Variant ist es ähnlich, die Rückrichtung ist noch der einfache Part.

19.05.2012, 20:04

Nuit Blanche

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
Guten Abend!

Danke für die schnelle Antwort.
Also zur Rückrichtung des Erwartungswerts habe ich nun Folgendes aufgeschrieben und hoffe, es sauber formuliert zu haben:

$\begin{eqnarray*} X(\Omega) = {\left\{ 0,...,n\right\} }, P(X=0)=1=P(\Omega). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega)\cdot p(\omega) = 0\cdot 1 + (1+...+n)\cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => E(X^{2}) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X^{2}(\omega) \cdot p(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$

Soll ich für die andere Richtung die Notation verwenden, die ich oben zu $\begin{eqnarray*} E(X^{2}) \end{eqnarray*}$ geschrieben habe, verwenden?

LG Nuit Blanche

19.05.2012, 20:30

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
Wie kommst du auf
$\begin{eqnarray*} X(\Omega) = {\left\{ 0,...,n\right\} } \end{eqnarray*}$
Das geht so nämlich nicht aus der Aufgabenstellung hervor, und ist auch nicht zu deren Lösung notwendig.

Wie habt ihr den Erwartungswert denn definiert? Also nur für diskrete oder auch für Stetige Zufallsvariablen?

19.05.2012, 20:56

Nuit Blanche

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
OK, dann lasse ich $\begin{eqnarray*} X(\Omega) \end{eqnarray*}$ weg. Ich dachte, man müsste irgendwie kenntlich machen, dass für $\begin{eqnarray*} X(\omega)\neq 0, \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ die Verteilung gleich Null ist. Aber ich denke, du hast Recht. Es führt unnötig in die Irre.

Also den Erwartungswert haben wir bis jetzt nur für diskrete Wahrscheinlichkeitsräume definiert:

Sei $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ reelle Zufalssvariable,
X heißt P-summierbar, falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\omega \in \Omega} | X(\omega) | p(\omega) < \infty \end{eqnarray*}$ , sei $\begin{eqnarray*} L^{1}(\Omega, P) := \left\{ X: \Omega \rightarrow \mathbb R , P-summierbar\right\} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} X \in L^{1}(\Omega, P) \end{eqnarray*}$ . Erwartungswert von X bzgl. P: $\begin{eqnarray*} E(X) := \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) p (\omega) \end{eqnarray*}$ .

Hierzu noch einige Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} E(\alpha X + \beta Y) = \alpha E(X) + \beta E(Y)\forall X, Y \in L^{1}(\Omega, P), \alpha, \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X) \geq 0, falls X\geq 0 \end{eqnarray*}$

Dazu haben wir den Erwartungswert für verschiedene Verteilungen, z.B. Bernoulli-Verteilung, bestimmt.

19.05.2012, 21:56

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
Mich irritiert das Summenzeichen, im allgemeinen Fall würde da ein Integral stehen.Poste mal die gesamte Aufgabenstellung.
Wenn X nur nichtnegative Werte annehmen darf (was du oben einfach so unterstellt hast), dann ist der Beweis recht einfach, sonst muss man da mehr machen.

19.05.2012, 22:17

Nuit Blanche

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} X \in L^{2}(\Omega, P) \end{eqnarray*}$ eine reelle Zufallsvariable.
Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} E(X^{2}) = 0 \Leftrightarrow P(X=0)=1. \end{eqnarray*}$
Man sagt: X=0 mit Wahrscheinlichkeit 1.
Weiterhin zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} V(X)=0 \Leftrightarrow \exists c \in \mathbb R: P(X=c)=1. \end{eqnarray*}$

Wie die Werte von X genau beschaffen sind, geht wirklich nicht aus der Aufgabe hervor. Die Integralschriebweise haben wir noch gar nicht eingeführt.

Ich habe jetzt auch die Hinrichtung ausprobiert.

"=>":

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=0 \Leftrightarrow \sum\limits_{\omega \in \Omega} X^{2}(\omega) p(\omega) = 0 \end{eqnarray*}$

Da alle $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ quadriert sind, müssen die X-Werte nichtnegativ sein, oder?
Ich habe nun so argumentiert, dass, damit die obige Gleichung erfüllt werden kann, ein X-Wert 0 gesetzt werden muss mit der Wahrscheinlichkeit 1, die anderen X-Werte ungleich Null haben dann jeweils die Wahrscheinlichkeit 0, da sich die einzelnen $\begin{eqnarray*} p(\omega) \end{eqnarray*}$ zu 1 aufsummieren müssen.
Demnach gilt dann P(X=0) = 1.
Aber ganz ehrlich: Ich bin mit dieser Formulierung gar nicht zufrieden. Kann man dort nicht anders vorgehen?

19.05.2012, 22:34

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
Dann hast du in der Vorlesung was verpasst.
Du kannst die Summenschreibweise für den diskreten Fall nicht auf reelle Zufallsvariablen übertragen.

19.05.2012, 22:38

Nuit Blanche

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0
Ich denke, das, was du meinst, wird in der Vorlesung kommen. Wir haben diese Woche erst mit Erwartungswert & Varianz angefangen. Warum aber darf man die Summenschreibweise für reelle Zufallsvariablen benutzen?

19.05.2012, 22:45

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: E(X^2) = 0 und V(X) = 0

Zitat:

Original von Nuit Blanche
Warum aber darf man die Summenschreibweise für reelle Zufallsvariablen benutzen?

Darf man eben nicht, da R nicht abzählbar ist.
$\begin{eqnarray*} \sum_{k\in[0,1]}k = ? \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

E(X^2) = 0 und V(X) = 0

Verwandte Themen