Kern, Bild, Dimension einer Matrix

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19.05.2012, 16:09	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern, Bild, Dimension einer Matrix Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Die reelle 3x4-Matrix $\begin{eqnarray} R^4 \Rightarrow R^3 \end{eqnarray}$ aufgefasst werden: $\begin{eqnarray} A:{R^4\Rightarrow R^3}, { \vec{x} \Rightarrow A\vec{x}} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie Ker(A) und Bild (A) ----------------------------------------------- Was ich bereits probiert habe: Ich wollte die Matrix in die NZSF (Normale Zeilenstufenform) bringen. Das hat nicht ganz funktioniert: Das waren meine einzelnen Schritte (Z=Zeile) $\begin{eqnarray} Z3 \Rightarrow (-1) Z1 + Z3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z3 \Rightarrow (-1) Z2 + Z3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z1 \Rightarrow (-2) Z2 + Z1 \end{eqnarray}$ Damit wollte ich die 4 Parameter $\begin{eqnarray} x1, x2, x3, x4 \end{eqnarray}$ bestimmen. Und dann weiter machen. Aber hat nicht geklappt. Meine Frage : Ist mein Ansatz richtig ? Wenn ja, was habe ich falsch gemacht? Wenn nein, wie muss ich vorgehen ? Ich hoffe ich habe genug Informationen geben können. Danke! gruß student68
20.05.2012, 17:03	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich zu wenig Angaben gemacht? Oder dauert es einfach ein bisschen, bis jemand antwortet..
20.05.2012, 17:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es könnte eher daran liegen, dass die Frage in einem unpassenden Bereich steht, das ist eher der (Hochschul-)Algebra zuzuordnen. Deine Umformungsschritte kann ich nicht ganz nachvollziehen, auch deine Zeilenstufenform dürfte falsch sein, eine Nullzeile entsteht bei mir nicht. Da du zwar deine angestrebten Umformungen aber nicht deine Zwischenergebnisse angegeben hast, ist die Fehlersuche nicht möglich, überprüf aber deine Umformungen nochmal.
20.05.2012, 20:23	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ok ich habe die Unterteilungen nicht bemerkt, tut mir leid. Ich habe nochmal nachgerechnet und keinen Fehler gefunden. Hier habe ich nochmal meine Zwischenschritte gepostet: $\begin{eqnarray} A:=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z3 \Rightarrow (-1) Z1 + Z3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{vmatrix}-3&-1&2&-1 \\ 0&0&1&-1\\0&0&1&-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z1 \Rightarrow (-2) Z2 + Z1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{vmatrix}-3&-1&0&1 \\ 0&0&1&-1\\0&0&1&-1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z3 \Rightarrow (-1) Z2 + Z3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{vmatrix}-3&-1&0&1 \\ 0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{vmatrix} \end{eqnarray}$
20.05.2012, 20:26	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkt in deiner ersten Umformung ist ein Fehler. Wenn du die erste Zeile mit (-1) multiplizierst und auf die dritte Zeile addierst, hast du im ersten Eintrag $\begin{eqnarray} (-3)+(-3)=-6 \end{eqnarray}$ , also keine 0.
20.05.2012, 20:34	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich die erste Zeile mal (-1) multipliziere dann habe ich $\begin{eqnarray} -1(-3) \end{eqnarray}$ im ersten Eintrag und $\begin{eqnarray} -1(-3)=3 \end{eqnarray}$ und wenn ich diese 3 aus der 1. Zeile zur -3 aus der 3. Zeile addiere erhalte ich $\begin{eqnarray} 3+(-3)=3-3=0 \end{eqnarray}$ habe ich einen blöden Denkfehler?
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20.05.2012, 20:36	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Eintrag der ersten Zeile der von dir angegebenen Matrix ist 3 und nicht -3.
20.05.2012, 20:37	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
ok sorry im ersten eintrag der Martrix A steht -3. Ich habe es falsch aufgeschrieben, du hast natürlich recht aber da steht dann 0 wenn im ersten eintrag -3 steht
20.05.2012, 20:45	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann führe doch jetzt entsprechende Parameter ein und löse das Gleichungssystem vollständig auf.
20.05.2012, 20:52	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}-3&-1&0&1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -3x1-x2+x4=0 \Rightarrow x2=-3x1+x4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 0&0&1&-1\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x3-x4=0 \Rightarrow x3=x4 \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht wie ich weiter machen muss.
20.05.2012, 20:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es noch nicht auseinandernehmen, viel zu viel Rechnerei. Belege die noch freien Stufen mit einer Variable und löse weiter auf.
20.05.2012, 21:23	student68	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit "freien Stufen" ?
20.05.2012, 21:25	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
In der 2ten und 4ten Spalte hast du noch keine Möglichkeit auf strikte Zeilenstufenform zu kommen, das lässt sich durch das Einführen eines Parameters aber beheben und das Gleichungssystem komplett auf strike Stufenform bringen.

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