Grenzwert ohne L'Hopital

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19.05.2012, 16:34	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert ohne L'Hopital Meine Frage: Ich möchte den Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{x³ + x² - x -1}{x² - 1} \end{eqnarray}$ berechnen, ohne L'Hopital zu benutzen. Meine Ideen: Die vorherige Aufgabe habe ich gelöst, indem ich einfach alle x durch (1+h), h strebt gegen 0, ersetzt habe. Hier bekomme ich aber 0/0 und weiß nicht recht wie ich weiter vorgehen kann. Ansätze aus dem Netz haben mir wenig geholfen.
19.05.2012, 16:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisiere Zähler und Nenner.
19.05.2012, 16:44	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{x³ + x² - x -1}{x² - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x³ \left(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x²} - \frac{1}{x³} \right)}{x² \left(1 - \frac{1}{x²} \right) } = \lim_{x \to 1} \frac{x \left(1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x²} - \frac{1}{x³} \right)}{\left(1 - \frac{1}{x²} \right) } \end{eqnarray}$ Hatte ich auch schon versucht, wusste dann aber nicht mehr weiter.
19.05.2012, 16:50	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht faktorisiert, du hast jeweils die größte Potenz ausgeklammert und gekürzt. Bestimme die Nullstellen von Zähler- und Nennerterm und stelle die Linearfaktoren auf.
19.05.2012, 17:00	Falke	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch eine Polynomdivision durchführen. Nur als Alternative
19.05.2012, 17:14	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to 1} \frac{x³ + x² - x -1}{x² - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\left(x-1\right) \left(x²+2x+1\right) }{x\left(x-1\right) } = \lim_{x \to 1} \frac{x²+2x+1 }{x} = \lim_{x \to 1} x + 2x + \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Kommt mir irgendwie falsch vor, was ich da fabriziert habe.
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19.05.2012, 17:17	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es auch. Was machst du denn da im Nenner? Und wieso machst du im Zähler nicht weiter? Dann eben Schritt für Schritt: 1. Was sind die Nullstellen des Zählers, sprich: löse die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3+x^2-x-1=0 \end{eqnarray}$ und bestimme die Linearfaktoren. 2. Was sind die Nullstellen des Nenners, sprich: löse die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2-1=0 \end{eqnarray}$ und bestimme die Linearfaktoren. 3. Stelle Zähler und Nenner mit Linearfaktoren da. 4. Kürzen.
19.05.2012, 17:18	Falke	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Iorek offline ist... Beim Nenner hast du einen Fehler gemacht. Und im Zähler den quadratischen Term auch noch zerlegen. Edit: hat sich ja dann erledigt
19.05.2012, 18:44	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch, da hab ich ja mal komplett den Überblick verloren. Hab's jetzt natürlich hinbekommen, vielen Dank!
20.05.2012, 11:12	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
Weiter betrachte ich gerade den Grenzwert für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 3} \frac{x³-1}{x-1} = \lim_{x \to 3} \frac{\left(x-1\right) \left(x²+1\right)}{x-1} = 1 + \lim_{x \to 3} x² = 1 + 9 = 10 \end{eqnarray}$ Laut Wolfram Alpha sollte hier 13 rauskommen. Kann mir jemand sagen was ich hier falsch gemacht habe? Vielen Dank!
20.05.2012, 11:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast den Zähler falsch zerlegt.
20.05.2012, 11:21	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
...und dabei schon 2 mal nachgerechnet , danke für die schnelle Antwort
20.05.2012, 12:47	misterfopper	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Standardaufgaben habe ich nun alle verstanden. Jetzt wirds für mich etwas kniffliger.. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{1+x²-exp(x²)}{x^4} \end{eqnarray}$ Wie geh ich da am besten ran. Könnte mir vorstellen, das irgendwie als Reihe zu schreiben, bekomme aber keinen richtigen Ansatz hin.

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