Rationale Exponenten

19.05.2012, 17:51

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Rationale Exponenten

Also bei Potenzen mit rationalem Exponenten der Form $\begin{eqnarray*} 8^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ kann man einfach sagen:
$\begin{eqnarray*} 8^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(2^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 2^{3\times \frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = 2

Bei $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ schaut das ja ein bisschen anders aus (geht nicht so leicht). Dort kommt man mit Umformung:

$\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = x
$\begin{eqnarray*} \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$
5 = $\begin{eqnarray*} x\times x\times x \end{eqnarray*}$

Darauf, dass $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann...

Meine eigentliche Frage ist nun aber, wie man überhaupt darauf kommt, dass $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ ist , warum das so ist ??

Und wenn ich nun das Beispiel $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = 1.259921.. nehme, wie kommt man da auf dieses Resultat, ohne dass man $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ in den Taschenrechner eintippt?
Damit meine ich, wie man nachvollziehen (nicht im Kopf berechnen gemeint), dass $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = 1.259921.. gibt und nicht etwas anderes?

Nachdem, was ich nämlich bis jetzt gelesen habe, macht das nicht allzu grossen Sinn. Bei Wikipedia steht nämlich: Bild
Demnach würde bei $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ die 1 $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ mal mit der Basis 2 multipliziert, was dann nicht 1.259921.. , sondern irgendwie 0.6666... oder keine Ahnung was gäbe..
Ich blick' nicht mehr durch. Bitte um Hilfe!

19.05.2012, 17:56

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten
Mach mal die Probe: was ergibt 5^1/3*5^1/3*5^1/3 (Potenzgesetz anwenden)

und was ergibt 3.Wurzel5*3.Wurzel5*3.Wurzel5 ?

19.05.2012, 17:58

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten
@adiutor62
Wolltest du nicht den Formeleditor benutzen? verwirrt

verwirrt

19.05.2012, 18:02

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten

Zitat:

Original von sulo
@adiutor62
Wolltest du nicht den Formeleditor benutzen? verwirrt

verwirrt

Joo, Formeleditor benutzen wär' schon nicht schlecht...

19.05.2012, 18:05

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten
Muss noch üben.

19.05.2012, 18:09

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten

Zitat:

Original von adiutor62
Mach mal die Probe: was ergibt 5^1/3*5^1/3*5^1/3 (Potenzgesetz anwenden)

und was ergibt 3.Wurzel5*3.Wurzel5*3.Wurzel5 ?

Beide male 5, aber könntest du es mir nicht einfach erklären, damit ich nicht selbst darauf kommen muss? Mein Kopf raucht nämlich...

Anzeige

19.05.2012, 18:10

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten

Zitat:

Original von adiutor62
Muss noch üben.

Dann tu das bitte, bevor du weiterhin solche Beiträge produzierst!
Du kannst nicht von uns erwarten, dass wir dir deine Beiträge editieren und mit Hilfe von Latex leserlich gestalten.

19.05.2012, 18:16

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rationale Exponenten
Es geht um verschiedene Schreibweisen, deren Beherrschung wichtig ist.
Man kann oft vieles dadurch übersichtlicher gestalten und schneller weiterrechnen oder "neue Aspekte" entdecken.

19.05.2012, 18:21

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich hab's...

Wenn nämlich $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = 5 ergibt, wird klar, dass so ein $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ (der dritten Wurzel aus fünf) $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ gleichkommt (weil $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ 3 mal sich selbst auch 5 ergibt, muss also beides gleichwertig=äquivalent sein), bzw. die beiden Dinger äquivalent sind, wie ihr Mathematiker sagt...und somit $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ eine Zahl ist, die 3 mal mit sich selbst mulltipliziert fünf gibt..Also $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ , bzws. 1.7099..
Oder sehe ich da was falsch??

19.05.2012, 18:27

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hat es klick gemacht. Viel Spaß beim Anwenden. Macht dich vertraut damit
und nutze diese Darstellungsvarianten in Zukunft voll aus.

19.05.2012, 18:46

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein als Begründung: zu einer Zahl $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ betrachte einfach $\begin{eqnarray*} a=a^1=a^{n\cdot \frac 1n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , das lässt sich mit den Potenzgesetzen umformen zu $\begin{eqnarray*} a=\left(a^{\frac 1n}\right)^n \end{eqnarray*}$ . Jetzt zieht man auf beiden Seiten die n-te Wurzel und hats da stehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2012, 19:01

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ muss also, wenn $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = 5, einen Zahlenwert annehmen, welcher 3 mal sich selbst gerechnet wieder die Basis 5 ergibt. Somit entspricht $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ auch der dritten wurzel aus 5 oder 1.7099

19.05.2012, 19:02

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas bleibt aber noch ungeklärt...
Was ich meine folgt, wenn ich es ausformuliert habe...

19.05.2012, 19:04

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Dem ist nichts hinzuzufügen. Danke für diese saubere mathem. Herleitung.
Leider denkt man oft nicht daran oder erinnert sich gerade nicht,wenn es notwendig wäre. Von Vollprofis natürlich abgesehen. Dazu kann ich mich leider nicht zählen.

19.05.2012, 19:04

Sherlock Holmes

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist korrekt.

$\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3} }= \sqrt[3]{5^{1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$

P.S.: Ah, sorry für das Einmischen, dachte es antwortet keiner mehr.

19.05.2012, 19:08

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Was nicht geklärt ist, ist warum $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ die dritte Wurzel aus 5 oder eben 1.7... ergibt?
Ich habe oben ein Bild verlinkt, welches dem Wiki entnommen ist. Laut dem, was dort steht, wäre $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ = 0.66666..

19.05.2012, 19:12

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann nicht sein. Verwechselst du da nicht etwas oder es liegt ein Druckfehler vor? Mach doch die Probe nochmal mir deinem Taschenrechner.

19.05.2012, 19:18

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Die "Erklärung" bei Wikipedia ist nur für natürliche Exponenten gültig, es ist vielmehr eine Umschreibung von $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als mehrfache Multiplikation mit der selben Zahl. Für rationale Exponenten ist diese Umschreibung nicht mehr gültig.

Nachtrag: außerdem ist, soweit das aus dem kleinen Schnipsel zu entnehmen ist, das nur eine (anschauliche) Begründung für den Sonderfall $\begin{eqnarray*} a^0 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2012, 19:23

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Potenzen ist es ja eigentlich ganz simpel: $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ ist = x * x
$\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ ist = x * x * x und so weiter...
Nun gibt es aber diese Fälle wie etwas hoch Null, was dann eins ergibt, weil (verlinktes Bild) der Exponent Null ausdrückt, dass die 1 eben kein mal mit der Basis a multipliziert wird und somit gibt das einfach 1 als Ergebnis.
Bei etwas hoch eins gerechnet, ist es dann analog: Die 1 wird einmal mit der Basis multipliziert, was dann die Basis ergibt.
Aber bei einem Bruch kann ich doch nicht beispielsweise sagen, dass bei $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ die 1 ein drittel mal mit 2 verrechnet wird.....
Ich weiss nicht, wie ich es sonst noch ausdrücken soll.....

19.05.2012, 19:26

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Die "Erklärung" bei Wikipedia ist nur für natürliche Exponenten gültig, es ist vielmehr eine Umschreibung von $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ für natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als mehrfache Multiplikation mit der selben Zahl. Für rationale Exponenten ist diese Umschreibung nicht mehr gültig.

Nachtrag: außerdem ist, soweit das aus dem kleinen Schnipsel zu entnehmen ist, das nur eine (anschauliche) Begründung für den Sonderfall $\begin{eqnarray*} a^0 \end{eqnarray*}$ .

Danke Iorek,

ich habe einfach Probleme mir etwas hoch eins oder hoch einen Bruch vorzustellen
Bei x hoch 2 und so weiter kann man das ganz einfach
das sieht dort so aus: x*x
aber wie sieht das bei hoch 1 und bei rationalen exp. aus?
Warum ist $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ eine Zahl, die drei mal sich selbst die Basis ergibt und nicht etwas anderes. Ich kann mir das einfach nur sehr schlecht vorstellen, warum hoch 1 drittel die dritte wurzel ergibt??

19.05.2012, 19:29

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei $\begin{eqnarray*} a^1 \end{eqnarray*}$ passiert einfach "nichts", das ist einfach die Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ selber. Wie man sich etwas "hoch einen Bruch" vorstellen soll, kann ich dir nicht sagen, da ich es mir auch nicht vorstellen kann. Ich kann mir da eher die 4te Wurzel vorstellen als etwas "hoch 1/4" zu nehmen.

Allgemein würde ich auf die Vorstellung, dass man die Zahl mit sich selbst multipliziert für rationale Exponenten vergessen. Diese ist nicht zielführend und mathematisch auch nicht korrekt. Wenn du es dir vorstellen willst, verwende lieber die Wurzelschreibweise.

19.05.2012, 19:33

Silas.H

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir viel viel mal , allen anderen auch, das hat mich erlöst

19.05.2012, 19:35

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade ein praktisches Beispiel dafür ein, warum a^0 eins ergibt:
Wenn jemand nach der Zinseszinsformel sein Geld NuLL-Jahre anlegt, verschwindet ja das Geld nicht.D.H. Der Zinsfaktor z.B 1,04 (für 4% Verzinsung)
mit 0 potenziert, muss 1 ergeben.

Also: Kapital*Zinsfaktor^0 = Kapital. Als Formel: K*q^0 = K
In Zahlen: 10000€*1,04^0 = 10000€. Damit muss 1,04^0 den Wert 1 ergeben.
Ich hoffe,dass macht´s etwas anschaulich.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »