Wie die Genauigkeit von gefundenen Lösungen abschätzen?

19.05.2012, 18:38	krautnruben	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie die Genauigkeit von gefundenen Lösungen abschätzen? Hallo zusammen. Ich habe folgendes Problem "aus der Praxis" und hoffe hier richtig zu sein. Es wurde eine mehrdimensionale Nullstellensuche implementiert. Gesucht werden gemeinsame Nullstellen von Ausdrücken wie beispielsweise $\begin{eqnarray} <br /> \int\limits_{0}^{1}\cos\left(\psi\left(t\right)\right)\cos^{2}\left(\theta\left(t\right)\right)\mathrm{dt} &= 0\\<br /> \theta\left(1\right) &= 0\\<br /> \psi\left(1\right) &= 0.<br /> \end{eqnarray}$ Dafür werden die Fourierkoeffizienten eines Ansatzes angepasst, der über ein gekoppeltes, lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung die Größen $\begin{eqnarray} \psi\left(t\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta\left(t\right) \end{eqnarray}$ bestimmt: In jedem Iterationsschritt der Nullstellensuche (also für eine gegebene Konfiguration der Fourierkoeffizienten) wird das ODE-System mit einem adaptiven Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung integriert. Die Schrittweitenanpassung wird bei vorgegebenem lokalen Fehler durch das Halbschritt-Verfahren realisiert. Dann werden Interpolationen für $\begin{eqnarray} \psi\left(t\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \theta\left(t\right) \end{eqnarray}$ durch kubische Splines erzeugt und Ausdrücke wie der Erste in den Beispielen oben mit adaptiven Integrationsroutinen bis auf vorgegebene, absolute Fehler ausgewertet. Die Nullstellensuche bricht ab, wenn die Summe der auszuwertenden Ausdrücke, wie sie oben beispielsweise gegeben sind, einen vorgegebenen Wert unterschreiten. Jetzt stehe ich vor der Frage: Wie kriege ich raus, bis auf wieviele Stellen der gefundenen Fourierkoeffizienten ich mich verlassen kann? Mir ist klar, dass das keine einfache Formel sein wird, in die ich meine Parameter einsetzen kann. Bei Ausdrücken wie den unteren Beiden, beispielsweise, wird der Fehler wohl vorallem vom globalen Diskretisierungsfehler abhängen (wobei ich wegen der Schrittweitenanpassung gar nicht so sicher wäre, wie der abzuschätzen ist?). Relativ ratlos dagegen bin ich allerdings, wenn die Ausdrücke wie bei dem Integral oben dann von der kompletten Zeitabhängigkeit der Größen aus dem ODE-System abhängen. Kann mir jemand sagen, ob und welche Strategien oder "Faustformeln für die Praxis" es gibt, die es erlauben jeweils die Fehler abzuschätzen und auf die Genauigkeit der Lösung schließen zu können? Natürlich erwarte ich, ganz den Regeln hier entsprechend, keine fertige Lösung. (Daher habe ich auch das ODE selbst fürs Erste gar nicht explizit angegeben). Im Zweifelsfall würde mir auch ein Tipp reichen, wo so etwas nachzulesen wäre. Oder, sollte ich sogar im falschen Forum gelandet sein, ein Tipp in welchem Forum diese Fragestellung besser aufgehoben wäre. Schönes Wochenende, allerseits!

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