Verteilungsfunktion

19.05.2012, 20:06

cya

Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Servus,
folgende Aufgabenstellung:

U sei uniform verteilt auf [0;1]. Wir betrachten die Zufallsvariable X := ln(1=U). Berechnen Sie die Verteilungsfunktion (und die Dichte) von (i) X und (ii) X2.

Meine Ideen:
Wie gehe am besten an die Aufgabe ran? Ich habe mir bis jetzt nur diesen Wiki-artikel gelesen (http://de.wikipedia.org/wiki/Stetige_Gleichverteilung#Beispiel_f.C3.BCr_das_Intervall_.5B0.2C1.5D) weil ich mit meinen Mitschriften aus der Vorlesung nichts anfangen kann. Bitte nicht so streng sein ich bin nicht die Leuchte in diesem GEbiet und gebe mir auch Mühe die Aufgaben selbst zu lösen wenn man etwas (okay viel^^) Geduld hat. Abgabe ist erst am Mittwoch. Sollte ich jetzt eine Stammfunktion aufstellen oder wie oO?

19.05.2012, 23:39

frank09

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RE: Verteilungsfunktion
Es muss gelten
$\begin{eqnarray*} F_x(x)=P(ln(u)<x)=P(u<...) \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 16:29

Cya2

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hi mir ist eben aufgefallen dass ich die Zufallsvariable falsch eingetippt habe, so muss es richtig sein:
$\begin{eqnarray*} X:= ln (\frac{1}{U}) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} F_{x} (X) = P(ln (\frac{1}{u}) < x ) = P( u < ...) \end{eqnarray*}$

schön das kann ich jetzt nach u auflösen aber warum ist mir ein Rätsel Oo

ich hab folgende Rechnung gemacht (hoffentlich hat sich kein Fehler reingeschlichen):

$\begin{eqnarray*} ln (\frac{1}{u}) < x <br /> <=> \frac{1}{U} < e^x<br /> <=> \frac{1}{e^x} < U \end{eqnarray*}$

ich hab dann das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} F_{x} (X) = P(ln (\frac{1}{u}) < x ) = P( \frac{1}{e^x} < U ) \end{eqnarray*}$

nur hab ich kein plan was ich überhaupt gemacht habe Forum Kloppe

20.05.2012, 21:28

cya2

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mir ist soeben aufgefallen dass ich wohl einen fehler drin haben muss weil etwas mit dem "<" zeichens nicht stimmt aber ich komm durch nachrechnen nicht drauf

21.05.2012, 01:24

frank09

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Gegeben ist ja
$\begin{eqnarray*} F_U(u)=P(U<u) \end{eqnarray*}$
bzw. für ">"
$\begin{eqnarray*} F_U(u)=1-P(U>u) \end{eqnarray*}$
dann kannst du $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} F_U(x) \end{eqnarray*}$ ausdrücken.

21.05.2012, 07:55

cya2

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Wo kommt $\begin{eqnarray*} F_{u} (X) und F_{u} (U) \end{eqnarray*}$ jetzt her hä?

Naja ich hab ds mal korriegiert bzw erweitert:

$\begin{eqnarray*} F_{x} (X) = P(ln (\frac{1}{u}) < x ) = P( \frac{1}{e^x} < U ) = 1- P( \frac{1}{e^x} > U ) \end{eqnarray*}$

die Richtung vom "<" stimmt jetzt. Und weiter? Ich seh schon das soll auf die expverteilung hinaus aber ich versteh trotzdem nicht was ich mache Big Laugh

21.05.2012, 14:47

frank09

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Zitat:

U sei uniform verteilt auf [0;1]

Das heißt doch $\begin{eqnarray*} F_U(u)=u=P(U<u) \end{eqnarray*}$
Also z.B. auch $\begin{eqnarray*} F_U(3x)=3x=P(U<3x) \end{eqnarray*}$
Wenn nun $\begin{eqnarray*} F_X(x)=1- P( U< \frac{1}{e^x} ) \end{eqnarray*}$ , sollte es doch möglich sein $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ durch x auszudrücken

21.05.2012, 16:53

cya2

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ich weiß das hört sich blöd an aber ich hab keine ahnung wie man ich das anstellen soll außerdem verwirren mich diese ganzen $\begin{eqnarray*} F_{x}(X), F_{u} (X) ,F_{x} (U) und F_{u} (U) \end{eqnarray*}$ ich kenn das net bzw. hab es dummerweise vergessen (sollte ich es jemals gekannt haben) jedenfalls versteh ich nur bahnhof :? Wie drückt man so was durch x aus? Du könntest mich auch auf einen Wiki Artikel oder so verweisen ich kenn das Prinzip net/ oder wei s net worauf du hinaus willst...

21.05.2012, 17:16

cya2

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Also ich hab mittlerweile folgendes stehen bin aber nicht zufrieden damit weil ich nicht weiß ob es stimmt und falls ja warum es stimmt... ich hab im Prinzip versucht deinen tipp umzuseten:

Verteilungsfunktion : $\begin{eqnarray*} F_{x} (X) = 1 - e^{-x} \end{eqnarray*}$
Dichtefunktion : $\begin{eqnarray*} f_{x} (X) = e^{-x} \end{eqnarray*}$

Wäre ich dann mit Aufgabe i) fertig oder wie?

21.05.2012, 23:35

frank09

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RE: Verteilungsfunktion

Zitat:

Wäre ich dann mit Aufgabe i) fertig oder wie?

Du hast es erfasst! Freude

$\begin{eqnarray*} F_U(u) \end{eqnarray*}$ ist die gegebene Verteilungsfunktion, die dir sagt, wie wahrscheinlich es ist, dass die Zufallsgröße U kleiner ist als u.
Dass man u auch durch jeden anderen Ausdruck ersetzen kann, sollte klar sein.

z.B
$\begin{eqnarray*} F_U(0,2)=0,2 \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Die Wsk, dass U kleiner als 0,2 ist beträgt 0,2 (ist ja kein Wunder, wenn sie auf [0;1] gleichverteilt ist.)
$\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ ist die gesuchte Verteilungsfunktion, die dir sagt, wie wahrscheinlich es ist, dass die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X=ln (\frac{1}{U}) \end{eqnarray*}$ kleiner ist als x, bzw. dass U größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x} \end{eqnarray*}$ ist.

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