Taylor Reihenentwicklung

19.05.2012, 23:18

Rudi

Taylor Reihenentwicklung

Nabend,

Versuche gerade auf die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt x \end{eqnarray*}$ im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ aufzustellen.

Leider komme ich auf keinen gescheiten Lösungsweg.

Meine Idee war es die Wurzel so um zu formen, damit sich eine Binomische Reihe ergibt und ich die Lösung aus dem Formelbuch ablesen kann.

Bin mir allerdings ziemlich unsicher ob das so funktionieren kann.....

Gleiches Problem bei $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x^2} -\frac{2}{x} ; x_0 = 1 \end{eqnarray*}$

Welches Vorgehensweise wäre hier von Vorteil?

Grüße

20.05.2012, 00:04

HueHang

Auf diesen Beitrag antworten »

Leite doch einige Male $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ab. Man sollte dann ein klares Muster erkennen und du kannst dann die Ableitungen in der Taylorreihe im Entwicklungspunkt darstellen. Das gleiche gilt auch für die andere Funktion,d.h. ein paar Ableitungen bilden und quasi ablesen, wie sich die Ableitungen weiterentwickeln.

20.05.2012, 00:26

Rudi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also :

$\begin{eqnarray*} f = \sqrt x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^1 = \frac{1}{2 \sqrt x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^2 = \frac{1}{4 x^(\frac{3}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^3 = \frac{3}{8 x^(\frac{5}{2})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^4 = - \frac{15}{16 x^(\frac{7}{2})} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze ich mal ein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt x= \sqrt 1 + \frac{1}{2 \sqrt 1}( x - 1) + \frac{1}{4 \cdot 1^(\frac{3}{2})}(x - 1)^2.... \end{eqnarray*}$

Also okay... so geht es auch.

smile

Lässt sich das nicht noch verallgemeinern mit einem Summenzeichen ?

Grüße

20.05.2012, 02:22

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

bisher komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt x \approx 1+\frac {x-1}{2} - \frac {(x-1)^2} {8} + \frac 1{16} (x-1)^3 -\frac 5 {128} (x-1)^4-\frac 7 {256}(x-1)^5- \frac {21}{1024}(x-1)^6 +\frac {33}{2048}(x-1)^7 \end{eqnarray*}$

sehe aber noch kein allgemeines Glied unglücklich

20.05.2012, 06:36

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
bisher komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt x \approx 1+\frac {x-1}{2} - \frac {(x-1)^2} {8} + \frac 1{16} (x-1)^3 -\frac 5 {128} (x-1)^4-\frac 7 {256}(x-1)^5- \frac {21}{1024}(x-1)^6 +\frac {33}{2048}(x-1)^7 \end{eqnarray*}$

sehe aber noch kein allgemeines Glied unglücklich

Hm, ist das nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt x = \sqrt{1+(x-1)}=\sum_{k=0}^\infty \binom {\frac 12} k (x-1)^k \end{eqnarray*}$

Und ich dachte, sowas sieht man man auf einen Blick... Big Laugh

Edit: Im übrigen ist da noch ein Vorzeichenfehler beim Koeffizienten -7/256, denn die Reihe ist ab dem 2.Term natürlich alternierend... Lehrer

20.05.2012, 14:32

Rudi

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man

das hätte man definitiv auf einen Blick erkennen können.... war wohl zu spät gestern Abend !

danke für die Hilfe und einen schönen Sonntag noch Tanzen

20.05.2012, 21:31

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

bei $\begin{eqnarray*} \sqrt {1+x} \end{eqnarray*}$ wär' ich auch gleich auf die Binomialreihe gekommen. Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Taylor Reihenentwicklung

Verwandte Themen