Erwartungswert und Varianz einer unabhängigen Wiederholung eines Zufallsexperiments

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Naseweiß Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz einer unabhängigen Wiederholung eines Zufallsexperiments
Meine Frage:
Hallo,

es geht um folgende Aufgabe:

Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel geworfen. Die vom ersten Würfel angezeigte Zahl wird dem Spieler in Euro ausbezahlt, was der zweite Würfel anzeigt, muss der Spieler in Euro pro Augenzahl ausbezahlen.
a) Bestimmen Sie die Verteilung der Gewinns G des Spielers bei diesem Spiel
b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz des Gewinns G
c) Wie viel gewinnen Sie im Mittel, wenn Sie das Spiel 6 mal spielen? Welche Varianz hat der Gesamtgewinn dieser 6 Spielrunden?

a) und b) sind kein Problem. Habe dazu im Internet eine Musterlösung gefunden, die genauso aussieht, wie meine eigene:
E(X)=0 und Var(X)=35/6

Nun mein Problem:
Ich weiß nicht genau, wie der Aufgabenteil c) gemeint ist...



Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass 6 Spielrunden in diesem Fall doch eigentlich nichts anderes sind, als eine 6-malige unabhängige Wiederholung des gleichen Zufallsexperiments, nämlich dem würfeln mit 2 Würfeln.
Dementsprechend habe ich aber doch auch in jeder Spielrunde denselben Erwartungswert und dieselbe Varianz wie in der ersten Spielrunde. Also insgesamt nach 6 Spielrunden wieder einen Erwartungswert von 0 und eine Varianz von 35/6...oder nicht?
Kann auch gut sein, dass ich gerade ein riesen Brett vorm Kopf habe, aber im Moment sehe ich keine andere Lösung..

Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen smile

Viele Grüße,
Naseweiß
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz einer unabhängigen Wiederholung eines Zufallsexperiments
So wie sich die Gewinne (=Erwartungswerte) addieren, addieren sich auch die Varianzen.
Naseweiß Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz einer unabhängigen Wiederholung eines Zufallsexperiments
Hallo,

erst mal danke für deine Antwort.

Dann hätte ich also insgesamt nach 6 Spielrunden einen Erwartungswert von 0 und eine Varianz von (6*35)/6=35?

Soweit ich weiß, gilt die Additivität E(X+Y)=E(X)+E(Y) für Erwartungswerte für beliebige reelle Zufallsvariablen X und Y, während sie für die Additivität Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) der Varianz stochastisch unabhängig sein müssen.

In meinem Fall wäre ja X=Y. Wo liegt nun die Bedeutung, dass ich die Erwartungswerte und Varianzen für jede Runde addieren muss und nicht zum Beispiel multiplizieren? Es wirkt zwar einleuchtend, trotzdem ist mir der Sinn dahinter irgendwie noch nicht ganz klar...

Viele Grüße,
Naseweiß
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert und Varianz einer unabhängigen Wiederholung eines Zufallsexperiments
Zitat:
Wo liegt nun die Bedeutung, dass ich die Erwartungswerte und Varianzen für jede Runde addieren muss und nicht zum Beispiel multiplizieren?


Genau deshalb, weil du deine erzielten Gewinne auch addierst und nicht etwa malnimmst. Die Varianz ist übrigens auch ein Erwartungwert, nämlich der der quadratischen Abweichung eines Wurfes vom Mittelwert (=3,5) eines Wurfes.

Stochastische Unabhägigkeit ist in jedem Fall gegeben, denn der Würfel "weiß" nicht, welcher Wert zuvor gewürfelt wurde und wird auch nicht davon beeinflusst.
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