Wahrscheinlichkeitsrechnung V

20.05.2012, 07:50	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsrechnung V Guten Morgen Okay, das ist nun die vorletzte Aufgabe. Wir sollen uns in der Uni nebenbei mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen. In der Schule habe ich es mal behandelt. Aber das meiste habe ich vergessen. Drum brauche ich eure Hilfe. Aufgabe: Wir haben einen vierseitigen (fairen) Würfel. Die Augenzahlen sind also entsprechend 1 - 4. Ich werfe nun n solcher Würfel. Es ist zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit,dass alle möglichen Augenzahlen vorkommen, gegen 1 geht, wenn die Anzahl der Würfel gegen unendlich geht. Nun, wenn ich mir 4 Würfel ansehe, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Augenzahl einmal auftritt = $\begin{eqnarray} 4! \cdot \frac 1 {256} = 0.09375 \end{eqnarray}$ Bei 5 Würfeln müsste ja mindestens eine Augenzahl doppelt vorkommen also errechnet sich die Wahrscheinlichkeit : $\begin{eqnarray} 5! \cdot \frac 1 {4^5 \cdot 2 !}= 0.234375 \end{eqnarray}$ . Also ist hier die Wahrscheinlichkeit entsprechend größer. Nun versuche ich es für n Würfel zu betrachten und eine allgemeine Formel zu bilden: n = Anzahl Würfel $\begin{eqnarray} P_n(x) = n! \cdot \frac 1{n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_m} \cdot \frac 1 {4^n} \end{eqnarray}$ Nun müsste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P(x) = 1 \end{eqnarray}$ Aber wie soll ich das machen? Kann ich überhaupt mit diesem Ansatz arbeiten? Oder muss ich wieder irgendwas mit dem Erwartungswert rechnen? Danke, ich schätze eure Hilfe sehr
20.05.2012, 11:08	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung V Am einfachsten geht das, wie recht häufig in der Stochastik, über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(Jede Zahl mindestens einmal) = 1 - P(mindestens eine Zahl keinmal) = 1 - Pk Sei nun $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass die Zahl i bei n Würfen keinmal vorkommt. Dann ist $\begin{eqnarray} P_k = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) \end{eqnarray}$ Das kann man zwar berechnen, ist aber unnötig, da nur der Grenzwert für n gegen unendlich gesucht wird. Du kannst benutzen, dass generell gilt: $\begin{eqnarray} P(A \cup B) \leq P(A) + P(B) \end{eqnarray}$ Es ist also $\begin{eqnarray} P_k = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) \leq P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4) \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} P(A_i) \end{eqnarray}$ ist leicht zu berechnen.
20.05.2012, 14:29	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung V Also die allgemeine Gleichung, dass bei n Würfeln die 1 mindestens k-mal auftaucht war ja $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot \left(\frac 1 4\right) ^k \cdot \left(\frac 3 4\right)^ {n -k} \end{eqnarray}$ (hatten wir in Wahrscheinlichkeitsrechnung II ermittelt) Nun betrachten wir das also für den Fall k = 0. Also müsste ja für alle i $\begin{eqnarray} P(A_i) = \left( \frac 3 4\right)^n \end{eqnarray}$ gelten, oder? Daraus folgt $\begin{eqnarray} P_k = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) \leq \left( \frac 3 4\right)^n+ \left( \frac 3 4\right)^n +\left( \frac 3 4\right)^n + \left( \frac 3 4\right)^n \end{eqnarray}$ So etwa? Für große n wird das immer kleiner d.h. die Gegenwahrscheinlichkeit von P_k konvergiert gegen 1 ...
20.05.2012, 14:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung V Richtig.
20.05.2012, 14:41	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung V Danke

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