Integralproblem

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20.05.2012, 12:53	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralproblem Hi Leute! Ich will folgendes Integral integrieren: $\begin{eqnarray} f(x) = \int_{10}^{\infty} f \left( x \right) = \int_{10}^{\infty} x \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x} dx = \alpha \int_{10}^{\infty} x \cdot e^{-\alpha \cdot x} = \lim_{b \to \infty} \alpha \int_{10}^{b} x \cdot e^{-\alpha \cdot x} = ... \end{eqnarray}$ Ich weiß aber an dieser Stelle leider nicht mehr weiter. Könnt ihr mir helfen?
20.05.2012, 12:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralproblem $\begin{eqnarray} F(x) = \dots \end{eqnarray}$ zu schreiben ist seltsam, wenn keine Abhängigkeit zu x besteht. Desweiteren ist das Integral das Paradebeispiel für partielle Integration.
20.05.2012, 13:18	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hat sich jetzt wohl ein Edit von mir überschnitten. Die Sache mit dem limes sollte wohl richtig sein. Da es ja rechts unbeschränkt ist. Für die partielle Integration muss das ja so lauten: $\begin{eqnarray} \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm{d}x = [f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x. \end{eqnarray}$ Aber ich seh grad nicht, wo in meiner Funktion g(x) und f'(x) steht...
20.05.2012, 13:51	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Aufgabe steht, dass $\begin{eqnarray} \alpha = \frac12 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(x) = \int_{10}^{\infty} f \left( x \right) = \int_{10}^{\infty} x \cdot \frac12 \cdot e^{- \frac12 \cdot x} dx = \frac12 \int_{10}^{\infty} x \cdot e^{- \frac12 \cdot x} =<br /> \lim_{b \to \infty} \frac12 \int_{10}^{b} x \cdot e^{- \frac12 \cdot x} = ... = \lim_{b \to \infty} \frac12 \left[ -2e^{-\frac12x}x - 2e^{-\frac12x} \right]_{10}^{b} =<br /> \frac12 \lim_{b \to \infty} \left[ -2e^{-\frac12x} \left(x - 1\right) \right]_{10}^{b} = \frac12 \lim_{b \to \infty} \left( \underbrace{-2e^{-\frac12b} \left(b - 1\right)}_{\to 0} + 2e^{-5}\cdot9\right) = \frac12 \left( 2e^{-5}\cdot9 \right) \end{eqnarray}$ Stimmt die Rechnung so?
20.05.2012, 13:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Wolfram hast du dich vertan. Es sollte eigentlich $\begin{eqnarray} e^{-x/2} (x+2) \end{eqnarray}$ als Stammfunktion herauskommen. Und das f(x) im Edit macht die Sache nur noch ein wenig schlimmer, denn f ist nicht konstant. Edit: beim Zusammenfassen am Anfang der 3. Zeile ist schon einmal ein Vorzeichenfehler, es sollte wohl (x+1) heißen. Und irgendwo fehlt dann noch die 1. Edit2: Habs: Du hast das letzte Integral nicht mehr ausgerechnet, sondern nur den Integraten aufgeschrieben.
20.05.2012, 14:20	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, du hast Recht. Ich komm jetzt auf $\begin{eqnarray} \frac12 \cdot 21e^{-5} \end{eqnarray}$ . Stimmts jetzt?
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20.05.2012, 14:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot 24 e^{-5} \end{eqnarray}$ wäre gut.
20.05.2012, 14:35	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem ich partiell integriert habe, komm ich auf das hier, aber bevor ich die die Grenzen einsetze komm ich auf das hier: $\begin{eqnarray} \frac12 \lim_{b \to \infty} \left( \left[-2e^{-\frac12x}\cdot x \right]_{10}^{b} - \left[-2e^{-\frac12 x}\right]_{10}^{b} \right) = ... \end{eqnarray}$ Stimmt das? EDIT: Ich komm übrigens auf $\begin{eqnarray} \frac12 22e^{-5} \end{eqnarray}$ hab mich grad vertippt.
20.05.2012, 15:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, statt der rechten Auswertung muss da ein Integral stehen.
20.05.2012, 15:41	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Innerhalb den rechten eckigen Klammern steht das unbestimmt integrierte Integral... Weißt du was ich meine?
20.05.2012, 15:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß was du meinst, aber du liegt nunmal der Fehler. Du brauchst die Stammfunktion von f(x), wobei $\begin{eqnarray} f'(x) = e^{-x/2} \end{eqnarray}$ war. Wenn du dir sauber aufschreibst was f und g überall sind, siehst du das dort ein Integral fehlt.
20.05.2012, 17:18	bandchef	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, dann fang ich nochmal von vorne an: $\begin{eqnarray} \frac12 \lim_{b \to \infty} \int_{10}^{b} \underbrace{x}_{=g(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac12 x}}_{=f(x)} dx = \frac12 \lim_{b \to \infty} \left( \left[ -2e^{-\frac12 x} \cdot x \right]_{10}^{b} - \int_{10}^{b} e^{-\frac12 x} \cdot 1 dx\right) = \frac12 \lim_{b \to \infty} \left( \left[-2e^{-\frac12x}\cdot x \right]_{10}^{b} - \left[-2e^{-\frac12 x}\right]_{10}^{b} \right) = ... \end{eqnarray}$ So, ich bin jetzt die ganze Rechnung nochmals durchgegangen und weiß WIRKLICH nicht wo der Fehler sein soll...
20.05.2012, 18:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz am Anfang ist das $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ falsch. Das ist nach partieller Integration nur $\begin{eqnarray} f'(x) \end{eqnarray}$ . Damit hast du im zweiten Integral noch den Faktor -2 stehen. Also $\begin{eqnarray} \frac12 \lim_{b \to \infty} \int_{10}^{b} \underbrace{x}_{=g(x)} \cdot \underbrace{e^{-\frac12 x}}_{=f'(x)} dx \end{eqnarray}$ Du kannst auch x/2 durch z substituieren. Dann ist f gerade auch f', und damit solltest du auch mit dem Fehler aufs richtige kommen.

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