"Der Arcustangens" und sein Hauptzweig

20.05.2012, 15:13

Lampe16

"Der Arcustangens" und sein Hauptzweig

Hallo Mathe-Eingeweihte!

Wenn jemand vom Hauptzweig des Arcustangens spricht, weiß man, was er meint. Der Hauptzweig ist dann eine Funktion mit dem Wertebereich $\begin{eqnarray*} [-\pi/2,\pi/2]. \end{eqnarray*}$

"Der Arcustangens" muss dann aber ein Konstrukt sein, das alle Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Gl. $\begin{eqnarray*} \tan x = c \end{eqnarray*}$ liefert.
Mit welchem mathematischen Fachbegriff bezeichnet man ein solches Konstrukt? Eine Funktion oder Abbildung ist "der Arcussinus" dann jedenfalls nicht, weil Funktionen oder Abbildung eindeutig zu sein haben.

20.05.2012, 21:41

Lampe16

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RE: "Der Arcustangens" und sein Hauptzweig
Ich versuchs mal mit Zuordnung oder Relation. "Der Arcustangens" wäre dann eine mehrdeutige Zurodnung.

Die mehrdeutige Arcustangens-Zuordnung hätte dann als Hauptzweig die Arcustangens-Funktion; und bei den anderen Kreisfunktions-Umkehrungen und der Wurzel wäre es ähnlich.

Vielleicht kann jetzt jemand widersprechen oder zustimmen.

20.05.2012, 22:18

thk

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Hmmm, eine Umkehrfunktion f^-1 ist für Abschnitte erklärbar, auf denen f streng monoton ist. Damit ist f^-1 ebenfalls eineindeutig (bijektiv). Du kannst freilich weitere atan-Funktionen erklären, oberhalb oder unterhalb.
Bei z.B. f=x^2 ist es ja entsprechend. Wenn du auf die negativen Urbilder aus bist...

20.05.2012, 23:55

Lampe16

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Ganz einverstanden! Mir geht es aber nur um den Begriff, den richtigen Sprachgebrauch. Von Funktionen oder Abbildungen wird Eindeutigkeit verlangt. "Mehrdeutige Funktionen" wären also schwarze Schimmel. Wenn "mehrdeutige Zuordnungen" ein üblicher mathematischer Begriff ist, ist mein Problem gelöst.

Dann hätte z.B. der Arcustangens zwei Bedeutungen: einerseits könnte er als mehrdeutige Zuordnung, andererseits als (eindeutige) Funktion angesprochen werden.

Ferner scheint Relation gleichbedeutend mit Zuordnung zu sein. Aber ich bin mir bei dem ganzen Thema unsicher. Wie gesagt: Meine Fragen sind nur sprachlicher Art.

21.05.2012, 13:42

Huggy

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Zitat:

Original von Lampe16
Ganz einverstanden! Mir geht es aber nur um den Begriff, den richtigen Sprachgebrauch. Von Funktionen oder Abbildungen wird Eindeutigkeit verlangt. "Mehrdeutige Funktionen" wären also schwarze Schimmel. Wenn "mehrdeutige Zuordnungen" ein üblicher mathematischer Begriff ist, ist mein Problem gelöst.

Das ist ein etwas finsteres Kapitel für die Mathematiker, die im allgemeinen sehr viel Wert auf Strenge legen.

Im Reellen ist die die Sache klar. Da ist der arctan eine Funktion im üblichen Sinne, also eindeutig. Deshalb liefert der arctan auch nur eine Lösung der Gleichung tan(x) = c. Wie man aus dieser einen Lösung die anderen bekommt, kann man sich anhand des tan klarmachen.

Im Komplexen ist das anders. Da wird in einem Teil der Lehrbücher plötzlich ganz unbefangen von mehrdeutigen Funktionen gesprochen, was, wie du selber schon sagst, ein Widerspruch in sich selbst ist. Das wird dann in einem Nebensatz damit begründet, dass man Funktionen wie

$\begin{eqnarray*} z \to z^2 \quad \text {oder} \quad z \to \tan (z) \end{eqnarray*}$

eigentlich nicht als $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ betrachten müsse, sondern als $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb C \to \text {Riemannsche Fläche} \end{eqnarray*}$ . Dann würden sie bijektiv und damit wären die Umkehrfunktionen wieder eindeutige Funktionen im üblichen Sinne. Das ist zwar richtig, nur kommen diese Bücher in der Folge meist gar nicht mehr zu den Riemannschen Flächen, sondern betrachten die Funktionen weiterhin als $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Meiner Meinung nach passt das nicht zur sonst in der Mathematik üblichen Strenge. Zumindest Programme und Taschenrechner, die mit komplexen Zahlen umghen können, machen da auch nicht mit. Für sie sind der arctan und ähnliche Funktionen auch im Komplexen eindeutige Funktionen. Sie nehmen als Funktionswert den sogenannten Hauptwert der Funktion.

21.05.2012, 16:35

Lampe16

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Danke Huggy,
ich bin froh, dass Du den Punkt gesehen hast. Eine präzise Sprache ist mir wichtig, und deshalb packt mich bei "mehrdeutigen Funktionen" das Grausen.
Ich habe mich jetzt folgendermaßen bei den Funktionen, die keine globale Umkehrung erlauben, eingenordet (wieder am Beispiel des Arcustangens):

"Der Arcustangens" kann einerseits eine Relation oder Zuordnung sein, die alle lokalen Umkehrfunktionen (Zweige des $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ ) umfasst.
Andereseits kann auch nur der Hauptzweig, eben die $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ -Funktion gemeint sein.
Um in einer Anwendung einen bestimmten Wert zu erhalten, brauche ich neben der $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ -Funktion eine Zusatzinformation zur Zweiglage.

Der Anlass meiner Anfrage war:
Ich brauchte eine Lösung $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Gl. $\begin{eqnarray*} \tan x = y \end{eqnarray*}$ mit der Bedingung , dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ möglichst nahe bei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegt. Das gelingt mit

$\begin{eqnarray*} x=x'+\pi\cdot {\rm round}\frac{X-x'}{\pi} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} x'=\arctan y. \end{eqnarray*}$
Die Funktion $\begin{eqnarray*} {~\rm round}~ \end{eqnarray*}$ rundet (kaufmännisch) zur nächsten ganzen Zahl.

Es war etwas Tüftelei, aber es funktioniert.

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