Extremalaufgabe: Rechteck mit Rundbogen

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kdofkofgüw Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalaufgabe: Rechteck mit Rundbogen
Meine Frage:
Hi,

Ich schreibe am Mi. eine Matheklausur und hab' das mit den Extremalaufgaben so überhaupt nicht verstanden...

Die Aufgabe lautet: Man habe ein Rechteck mit aufgesetztem Rundbogen. Die Fläche soll maximal werden, während die Umrahmung 6m betragen soll.

Ich kann nicht einmal richtig HB, NB und ZF aufstellen...

Meine Ideen:
Die Hauptbedingung ist ja immer das, was maximal oder minimal werden soll.
In dem Falle ist das ja die Fläche.

Also wäre doch Hauptbedingung = A (r,b) = r * b + 1/2 r² oder?

Darauf komme ich aufgrund meiner Skizze. Die eine Seite vom Rechteck wäre ja r, die andere habe ich b genannt... richtig?

Für die Nebenbedinung habe ich 6 = 2b + r + r

Stimmt das soweit?

Weiß ebenfalls nicht, nach welcher Variable man am besten auflösen könnte... woran erkennt man das? Bitte helft mir!

Neben
lueni Auf diesen Beitrag antworten »

6 = 2b + r + r nach b umformen und in die HB einsetzen, erste Ableitung
kdiewjpfd Auf diesen Beitrag antworten »
...
Aber ansonsten ist alles richtig?
Danke!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Eine "Umrahmung" von 6m? Ist das die Länge des Umfanges der Figur?

In diesem Fall stimmt deine NB mit 6 = 2b + r + r nicht.
jofkoe Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Warum das denn nicht?
Der Umfang, um den es sich hier handelt, müsste dann doch der Halbkreis (1/2 * 2 * *r) + 2b und einmal r sein, das "innere" r wird doch bei dem Umfang nicht dazu gezählt...

Also ergibt sich meines Erachtens nach

NB : 6 = 2b + r + 1/2 * 2 * * r
NB : 6 = 2b + r + * r

Wo ist mein Fehler? :o
lueni Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Ahja der Fehler dabei ist dass r keine volle Kantenlaenge ist (das waere dann d fuer durchmesser), sprich du musst beim Umfang 2r nehmen.
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
So sehe ich die Sache:
[attach]24569[/attach]
Somit fehlt ein r.

smile
wkdeow Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Oh Gott, das hab ich ja gar nicht beachtet! smile

Also NB: 2b + 2r + * r ? smile

Dankeschön!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Ja, das ist richtig. Freude
diowqhdf Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Zitat:
Original von sulo
Ja, das ist richtig. Freude


Tja, mich verfolgen jetzt die ganzen Formeln aus der 6. Klasse.. :b
Danke nochmal!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Du kannst gerne dein Ergebnis zur Kontrolle hier aufschreiben. smile
jsfide Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Oh.. äh. Ja. Klar. Das Ergebnis... Big Laugh
Ich wette, gleich hänge ich schon bei der Zielfunktion fest Augenzwinkern Kann ich dann ja hier posten. Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Tu das. Freude

Und bleibe bitte bei einem Namen.
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Zitat:
Original von sulo
Du kannst gerne dein Ergebnis zur Kontrolle hier aufschreiben. smile


Aaaalso. Habe meine Hauptbedigung jetzt auch geändert in HB:
A (b,r) = 2r * b + 1/2 * * r² , das hatte ich ja am Anfang auch falsch wegen den 2r smile

Jetzt hab ich:

Nebenbedingung:

6 = 2b + 2r + r | - 2r | - r
6 - 2r - r = 2b | : 2
3 - r - 1/2 r = b

Also hab ich darauf:

Zielfunktion:

A (r) = 2r (3 - r - 1/2 r) + 1/2 r
A (r) = 6r - 2r² - r² + 1/2
A (r) = 6r - 2r² - 1/2

Soweit richtig? Wie gehen die nächsten Schritte? :o
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Ich habe jetzt nur die letzte Zeile kontrolliert:

A (r) = 6r - 2r² - 1/2 r² ist richtig. Freude

Jetzt kannst du ableiten. smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Sorry, bleibe bei einem Namen.
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Zitat:
Original von sulo
Ich habe jetzt nur die letzte Zeile kontrolliert:

A (r) = 6r - 2r² - 1/2 r² ist richtig. Freude

Jetzt kannst du ableiten. smile


Die Ableitung wäre dann A'(r) = 6 - 4r -

Aber wozu mach ich überhaupt die Ableitung? Und was ist jetzt zu tun? :/
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Du willst doch den maximalen Flächeninhalt bestimmen. Wir suchen also das Maximum, den Extremwert.
Und den findet man, in dem man die Funktion ableitet und die erste Ableitung Null setzt.

Und genau das solltest du jetzt tun, dann kannst du r bestimmen. smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Warum hab ich für r jetzt 0,06 raus? ._.'
Glaub das mit dem umstellen nach r kann ich auch nicht..
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
0,06 m ist ein bisschen klein, das wäre ein Radius von 6 cm, das heißt, die Figur müsste knapp 3 m hoch sein.

Eher unwahrscheinlich, dass man damit einen maximalen Flächeninhalt erreicht. Augenzwinkern

Du kannst deine Rechnung ja mal aufschreiben. smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Wir haben ja

0 = 6 - 4r - r

Weiß jetzt einfach nicht, wie ich nach r auflösen soll, wenn ich 2x das r hab...
kann man das noch irgendwie zusammenfassen? Ich seh da nichts..
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Klammere das r mal aus. smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
0 = 6 - 4r - r
0 = r (6-4-)
= = r (2-)

Muss ich jetzt wieder multiplizieren oder durch die Klammer teilen..?

Mensch, diese ganzen Regeln vor der Oberstufe... Peinlich peinlich.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Du kannst die 6 nicht mit in die Klammer ziehen.

0 = 6 - 4r - r

0 = 6 - r(4 + )

Jetzt kannst du die 6 auf die andere Seite der Gleichung bringen, dann teilst du durch die Klammer.

smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Dann würde ja rauskommen -6 / 4 + = -r
.... wo kommt den das + in der Klammer überhaupt her? ._.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Jaja, die Lücken aus der Unterstufe... Augenzwinkern

Wenn du 2 und 3 von 7 abziehen sollst, kannst du das so schreiben: 7 - 2 - 3

Weil du aber 2 und 3 von 7 abziehen sollst, geht es auch so: 7 - (2 + 3)


Zu deiner Lösung: -6/ (4 + ) = -r
Bitte mit Klammer.
Weiterhin kannst du die Gleichung mit -1 multiplizieren, dann hast du positive Werte.

smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Naja, in der Unterstufe habe ich mich über eine 4 in der Arbeit gefreut und konnte mich später erst mit Differentialrechnung & Kurvendiskussionen anfreunden :b

Und wenn ich nun den Wert für r raushabe, muss ich dann den zusammen mit dem Wert von b in die Hauptbedinung einsetzen, um die entgültige Lösung zu bekommen? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Ich sehe in der Aufgabenstellung nicht, was genau gesucht wird.

Du kannst die maximale Fläche ausrechnen, du kannst dann auch die Seitenlängen des Rechteckes bestimmen.

Ich würde beides machen. smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Oh stimmt, wir sollen auch beides berechnen. Aber da weiß ich schon was ich machen muss! smile

Endlich! Vielen, vielen Dank für die Hilfe! Hoffentlich ist die Matheklausur gerettet :b
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Für a und b kommen übrigens sehr elegante Werte raus, wenn du sie auf r beziehst. Augenzwinkern

Wenn du willst, kannst du bis Mittwoch noch mehr Extremwertaufgaben rechnen.

Du kannst hier aber auch nach Extremwertaufgaben suchen, es gibt da eine ganze Reihe, die schön durchgerechnet und gelöst wurden.

smile
jsfopwj Auf diesen Beitrag antworten »
Re: ...
Danke für die Tipps! smile Werd ich machen!
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