Integralrechnung: Um Y-Achse kreisen, Grenzen auf X-Achse?

20.05.2012, 18:11	lueni	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung: Um Y-Achse kreisen, Grenzen auf X-Achse? [attach]24568[/attach] Moin, mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz, wie soll man eine Form um die Y-Achse kreisen lassen wenn die Grenze (R) auf der X-Achse liegt? Ich freue mich auf einen Schubs in die richtige Richtung edit von sulo: Grafik eingefügt, Link zu externem Host entfernt.
20.05.2012, 21:50	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo lueni, du kannst die Grenze mit der Umkehrfunktion umrechnen. Damit läuft y von 1/(1+R^2) bis 1 (Wenn man vom Sockel wieder absieht). Du kannst aber auch um die y-Achse integrieren: $\begin{eqnarray} V=\int_0^R \! f(x)\cdot x \, dx \end{eqnarray}$ LG
21.05.2012, 12:44	lueni	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]24573[/attach] [attach]24574[/attach] Danke, das mit den Grenzen war ja recht offensichtlich, aber da waer ich alleine nie drauf gekommen hehe. Was mich erstaunt ist der zweite Loesungsweg von dir: $\begin{eqnarray} V=\int_0^R \! f(x)\cdot x \, dx \end{eqnarray}$ Der ist ungefaehr 3 Seiten kuerzer als meiner, wie kommt man darauf? Wo kommt das x her? Warum wird nicht quadriert? edit von sulo: Habe wieder die Grafiken als Dateianhang hochgeladen und die Links entfernt. Links zu externen Hosts sind unerwünscht, weil dort die Inhalte nicht lange aufgehoben werden und der Thread dann nicht mehr zu verstehen ist. Bitte lade deshalb zukünftig deine Dateien selbst hier hoch. Danke.
21.05.2012, 18:10	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte natürlich 2pi vergessen: $\begin{eqnarray} V=2\pi \int_0^R \! x\cdot f(x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dA=r\cdot d\phi ,\ dV=r\cdot d\phi\cdot dy \end{eqnarray}$ Über den Winkel kann sofort abintegriert werden. In dem Fall erhältst du gleich noch den Sockel. Bei Rot. um x musst du den ja noch aufschlagen. Daher sind die Integrale unterschiedlich. pi*ln(1+R^2) stimmt demnach; deine Rechnung ist nur etwas unkonventionell. LG
21.05.2012, 21:40	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
es steht jedem frei wie er ein Rotationsvolumen ermittelt. hier gilt folgende Überlegung: $\begin{eqnarray} 2 \pi x \end{eqnarray}$ ist ein Kreisrand. Eine Drehung soll stattfinden ! $\begin{eqnarray} 2 \pi x f(x) \end{eqnarray}$ ist die Mantelfläche eines Zylinders $\begin{eqnarray} \dd V= 2 \pi x f(x) \, \dd x \end{eqnarray}$ ist ein kleines Volumenelement eines Hohlzylinders. $\begin{eqnarray} V=\int 1 \, \dd V \end{eqnarray}$ als Grenze bietet sich Null bis R an. Das war es schon.

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