Eigenraum bestimmen

20.05.2012, 23:06	Ehsan.Abbasi	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenraum bestimmen Meine Frage: hallo, ich brauche hilfe um die eigenräume der Matrix zu bestimmen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,5-a & 0,25 \\ 0,5 & 0,75-a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a sei lambda und lambda habe ich schon berechnet und das ist auch richtig, wurde von meinem Lehrer bestätigt. Lambda ist a1=1 und a2= 0,25 dann habe ich a1= 1 in die Matrix eingesetzt und ich bekam eine neue Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} -0,5 & 0,25 \\ 0,5 & -0,25 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dann habe ich die X werte berechnet und bekam dann den "eigenvektor" $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann habe ich die Matrix mal den Eigenvektor genommen und bekam den Vektor: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus ist das dann mein Eigenraum und wie bestimme ich den?
21.05.2012, 09:55	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenraum bestimmen $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} -0,5 & 0,25 \\ 0,5 & -0,25 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Der Eigenraum zum Eigenwert a_1 ist die Lösungsmenge zum homogenen LGS oben. Meinst du damit die "X-Werte"? (2,4) ist ein passender Vektor, aber der Eigenraum ist ja eine Menge. In diesem Fall einfach nur alle Vielfachen von (2,4).
21.05.2012, 10:06	JuniorMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenraum bestimmen hmm den eigenraum bestimmst du indem du deine (sagen wir mal) Matrix M nimmst und (M-1id)*x=0 auflöst. Dabei fällt eine deiner zeilen weg und du kannst eine variable frei wählen. Diese bezeichnest du z.b. als z und löst dann deine gleichung auf.
21.05.2012, 16:28	Ehsan.Abbasi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenraum bestimmen hallo blubbel, Danke für deine Antwort erstmals, wenn ich meine Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,5 & 0,25 \\ 0,5 & 0,75 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multipliziere mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann bekomme ich dasselbe raus, sprich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und wenn ich mein Eigenwert=1 mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multipliziere dann bekomme ich das selbe raus. und was sagt mir dann die Lösung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das dann mein Eigenvektor?
21.05.2012, 18:34	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 gefunden. Es gibt aber unendlich viele Eigenvektoren zum EW 1. Allgemein musst du das Gleichungssystem lösen, das Juniormathematiker aufgeschrieben hat. Damit kommst du dann auf alle Eigenvektoren, die dann zusammen den Eigenraum (zum EW 1) bilden.
21.05.2012, 20:03	Ehsan.Abbasi	Auf diesen Beitrag antworten »
also mein zweiter eigenwert den ich nach dem gauß-verfahren rausbekommen habe ist 0,25 dann benutze ich die formel (A-axE) und bekomme das raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,25 & 0,25 \\ 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann kann ich mir eine variable wählen dies wäre dann X2=2 wenn ich das alles auflöse bekomme ich dann X1= -2 raus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre das dann mein eigenraum richtig? dann multipliziere ich die Matrix mit dem $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ und bekomme dann mein Eigenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -0,5 \\0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das dann auch mein Eigenvektor? und wenn ich dann mein eigenwert mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multipliziere dann bekomme ich auch wieder dasselbe raus ,sprich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -0,5 \\0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind dann meine Eigenräume: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -0,5 \\ 4 & 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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21.05.2012, 21:41	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht, der Eigenraum ist immer ein Vektorraum und (je nach Def. mit Ausnahme des Nullvektors) niemals ein einzelner Vektor. Gehe doch einmal den Ansatz von oben an: Löse das LGS (M-kE)x=0 mit M als deiner Matrix, k als den Eigenwert und E als der passenden Einheitsmatrix. Diese Matrix hast du oben ja schon berechnet. Löse also das LGS (nicht ein Vektor, sondern alle Lösungen sind gesucht) und der Lösungsraum ist der entsprechende Eigenraum.

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