Orthogonale Matrizen (SO(3))

21.05.2012, 13:45

Savior

Orthogonale Matrizen (SO(3))

Meine Frage:

Ich habe hier eine Aufgabe bezüglich orthogonalen Matrizen und würde gern wissen ob meine Lösungen in etwa stimmen smile

Es sei $\begin{eqnarray*} A \in SO(3) \end{eqnarray*}$ . Wir wollen zeigen, dass A ähnlich ist zu einer Matrix

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ 0 & sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} B \in SO(3) \end{eqnarray*}$

2. Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jedes Polynom vom Grad 3 eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ besitzt

3. Zeigen Sie, dass die Matrix A den Eigenwert 1 besitzt

4. Folgern Sie schließlich, dass A ähnlich ist zu der angegebenen Matrix B ist (für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:

1. Reicht es hier zu auszurechnen, dass $\begin{eqnarray*} det(B)=1 \end{eqnarray*}$ oder muss ich noch zusätzlich berechnen, dass $\begin{eqnarray*} B^{-1} = B^{T} \end{eqnarray*}$ ?

2. Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=|a|x^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |a|>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b,c,d \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Man kann f(x) nun schreiben als

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3(|a|+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x^3}) \end{eqnarray*}$

Man sieht jetzt dass gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty(|a|+0+0+0)=\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty(|a|+0+0+0)=-\infty \end{eqnarray*}$

Und da der Mittelwertsatz besagt, dass wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ existieren, es ein $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ gibt

Somit gibt es eine Nullstelle

3. Es gilt $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} ||Av||=||\lambda v|| \end{eqnarray*}$

Da A orthogonal ist, gilt zudem $\begin{eqnarray*} ||Av||=||v|| \end{eqnarray*}$
Somit folgt

$\begin{eqnarray*} ||v||=||Av||=||\lambda v||=|\lambda|*||v|| \end{eqnarray*}$

Mein Problem an dieser Stelle ist, dass $\begin{eqnarray*} \lambda=\pm1 \end{eqnarray*}$ gelten kann und nicht nur 1 unglücklich

4. A und B sind dann ähnlich wenn sie die gleiche JNF haben.
Wir wissen aus 3., dass A nur den Eigenwert 1 besitzt, wenn B auch nur 1 als Eigenwert hat, dann haben beide Matrizen die gleiche JNF, da beide 3x3 Matrizen sind.
Bestimme also die Eigenwerte von B:

$\begin{eqnarray*} (1-\lambda)(cos(\alpha)-\lambda)+(1-\lambda)(sin^2(\alpha))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow(1-\lambda)(\lambda^2-2cos(\alpha)+1)=0 \end{eqnarray*}$

Somit gilt

$\begin{eqnarray*} 1.)1-\lambda=0\Rightarrow\lambda_{1}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.)\lambda^2-2cos(\alpha)+1=0\Rightarrow\lambda_{2/3}=cos(\alpha)\pm\sqrt{-sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass aufgrund des negativen Vorzeichens, $\begin{eqnarray*} sin(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Dies gilt für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ und damit folgt $\begin{eqnarray*} \lambda_{2/3}=1 \end{eqnarray*}$

Somit wissen wir, dass B für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ nur 1 als Eigenwert hat und somit sind A und B ähnlich für $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$

So das wars, danke schonmal für das lesen des langen Textes Big Laugh

22.05.2012, 10:55

Reksilat

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RE: Orthogonale Matrizen (SO(3))
Hallo Savior,

Zu 1): Nur det(B)=1 reicht nicht, damit B in SO(3) liegt. Die Orthogonalität ist auch noch zu zeigen.

Zu 2): Passt. smile

Zu 3): Es fehlt zunächst, dass es überhaupt einen Eigenwert geben muss. Schau Dir dazu das charakteristische Polynom an. An diesem siehst Du danach auch, dass -1 nicht der einzige Eigenwert sein kann.

Zu 4): Auch für $\begin{eqnarray*} \alpha=\pi \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ , aber selbst damit ist Deine Argumentation zwar richtig, bringt Dich aber nicht richtig weiter.

Mit dem Eigenwert 1 gibt es einen zugehörigen Eigenvektor, den Du dann zu einer Orthogonalbasis ergänzen kannst. Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basis die folgende Gestalt hat:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

22.05.2012, 21:02

Savior

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Danke schonmal für die Antwort smile

zu 3.

Kann ich einfach sagen, wenn $\begin{eqnarray*} A \in SO(3) \end{eqnarray*}$ gibt es ein char. Polynom vom Grad = 3 (hier bin ich mir nicht sicher, ob diese Aussage stimmt).
Und da wir in 2.) gezeigt haben, dass Polynome vom Grad = 3 immer mindestens eine Nullstelle haben, ex. somit auch mindestens ein EW.
Dann schreibe ich meinen Beweis dass $\begin{eqnarray*} \lambda = \pm 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt kann ich ja mit einem Widerspruch zeigen, dass -1 nicht einziger EW sein kann und somit 1 auf jedenfall auch ein EW von A sein muss.
Wir wissen, dass Grad(char. Polynom)=3.
Wäre -1 einziger EW würde für das char. Polynom gelten
$\begin{eqnarray*} x_{p}=(-1+X)(-1+X)(-1+X) \end{eqnarray*}$ und wir würden die folgende Matrix A haben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Doch damit würde gelten det(A)=-1 und somit wäre A nicht element SO(3)

Wäre das so richtig?

zu 4.

Stimmt es müsste gelten $\begin{eqnarray*} \alpha \in {n\pi} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$

Hm weiß hier leider nicht weiter, also sei jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$ mit dem dazugehörigen Vektor v.
Es gilt $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$ und somit
$\begin{eqnarray*} Av=v \end{eqnarray*}$
Dies gilt aber nur wenn A = E
Komme damit aber nicht auf deine Gestalt unglücklich

23.05.2012, 08:47

Reksilat

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Zitat:

Wäre -1 einziger EW würde für das char. Polynom gelten
$\begin{eqnarray*} x_{p}=(-1+X)(-1+X)(-1+X) \end{eqnarray*}$

Zunächst wäre das char. Polynom $\begin{eqnarray*} (X-1)\cdot q(x) \end{eqnarray*}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray*} q(x) \end{eqnarray*}$ vom Grad 2. Theoretisch könnte $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen haben. Allerdings kann man sehen, dass das Absolutglied des charakteristischen Polynoms einer Matrix gleich der Determinante ist und damit kennst Du auch das Absolutglied von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Dann sieht man mit der p-q-Formel, dass auch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ haben muss und Deine Argumentation klappt.

zu 4.

Zitat:

...und somit
$\begin{eqnarray*} Av=v \end{eqnarray*}$
Dies gilt aber nur wenn A = E

Nein, wieso? $\begin{eqnarray*} Av=v \end{eqnarray*}$ gilt doch nicht für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ .

Mit Deinem Eigenvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ kannst Du irgendeine Basis $\begin{eqnarray*} \{v,x,y\} \end{eqnarray*}$ bilden und bezüglich dieser Basis hat $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Gestalt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(Das hat noch nichts mit Orthogonalität zu tun.)

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ orthogonal und damit hat es die schöne Eigenschaft, dass zwei zueinander orthogonale Vektoren wieder auf zueinander orthogonale Vektoren abgebildet werden.
Wenn man $\begin{eqnarray*} \{v,x,y\} \end{eqnarray*}$ also als Orthogonalbasis konstruiert, so sind auch $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Ay \end{eqnarray*}$ orhtogonal zu $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und dann hat die Matrixdarstellung die von mir angegebene Form.

23.05.2012, 15:05

Savior

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Ahhh, jetzt hats klick gemacht

Danke dir! smile

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