Existenz eines Grenzwerts <-> Cauchyfolge

21.05.2012, 16:14	Bahamas	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz eines Grenzwerts <-> Cauchyfolge Meine Frage: Es ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f: ]a,b[->R \end{eqnarray}$ gegeben, die stetig sein soll. Es ist zu zeigen, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim\limits_{{x}\to {a+}}f(x) \end{eqnarray}$ genau dann existiert, wenn für jede Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} ]a,b[ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim\limits_{{n}\to\infty}x_n=a \end{eqnarray}$ die Folge $\begin{eqnarray} (f(x_n)_n) \end{eqnarray}$ eine Cauchyfolge ist. Meine Ideen: Mich beschäftigt hauptsächlich die Implikation Cauchy->Grenzwert existiert (die andere ist relativ einfach); uns wurde allerdings als Hinweis gegeben, dass wir indirekt argumentieren sollten, indem wir zwei geeignete gegen a konvergente Folgen 'mischen'. Ich habe das nun folgendermaßen gelöst: Angenommen, der besagte Grenzwert existiert nicht. Dann gibt es eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n)_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} ]a,b[ \end{eqnarray}$ mit Grenzwert a, sodass $\begin{eqnarray} (f(x_n))_n \end{eqnarray}$ divergiert. Nun wähle man sich eine Folge $\begin{eqnarray} (y_n)_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} ]a,b[ \end{eqnarray}$ mit Grenzwert a so, dass für alle $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl N existiert, sodass für alle $\begin{eqnarray} {n}\geq{N} \end{eqnarray}$ folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x_n)-f(y_n)\|\geq\epsilon \end{eqnarray}$ . Dann definiere man $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} z_{2n}=x_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_{2n-1}=y_n \end{eqnarray}$ für alle n. Dann konvergiert $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ sicherlich gegen a, ist aber nach Konstruktion keine Cauchyfolge q.e.d. Stimmt das so? Ich bin hauptsächlich unsicher, ob man eine solche Folge $\begin{eqnarray} (y_n)_n \end{eqnarray}$ findet/wählen kann...

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