Konvergenz von Reihen

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21.05.2012, 18:03

matheesel

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Konvergenz von Reihen

Servus Mathemagier Wink

Ich muss diese Aufgaben lösen:

Zitat:

Welche der folgenden Reihen konvergiert, welche konvergieren absolut ?

a)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ (hinweis: Leibnitz kriterium)

b)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n } \end{eqnarray*}$

Erstmal die a)

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} (-1) \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n} \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

Dann prüfen auf Monotonie:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n} = \frac{2n+2}{n²+3n+2} - \frac{2n+1}{n²+n} \end{eqnarray*}$

Ist das so schon mal korrekt? Ich würde dann als nächstes einfach die Terme zusammenfassen und dann gucken ob er am Ende kleiner als 0 ist.

Soviel zur a) zur b) werd ich dann später noch was posten smile

Gruß !

21.05.2012, 18:14

Zizou66

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Das kannst du so machen. Danach musst du dann noch zeigen, dass die Folge gegen 0 konvergiert.

21.05.2012, 18:29

matheesel

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Hallo Zizou66 , danke für Antwort Freude

Achso

kann es sein das dann $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n} \end{eqnarray*}$ kleiner sein muss als der Grenzwert? Ist der Grenzwert sowas wie das epsilon?? (ich hatte zuvor gedacht das eine Folge monoton fällt wenn man die Glieder abzieht und dies dann kleiner 0 ist, ist ja aber nicht so)

Gruß

21.05.2012, 18:34

Zizou66

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Zitat:

Original von matheesel
Hallo Zizou66 , danke für Antwort Freude

Achso

Ich verstehe nicht, was du meinst.

Wenn du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n}<0 \end{eqnarray*}$ gilt, hast du gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Dies zeigt man mit vollständiger Induktion.

Den Grenzwert zu berechnen ist danach leicht.

22.05.2012, 18:53

matheesel

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Hello again,

Also die a) bekomme ich dann hin, jetzt zur b)

Hier würde ich das Quotientenkriterium benutzen, da es ein Bruch ist und und ich so eine Art a^n im Nenner hab, das wächst ja auch am schnellsten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{(\sqrt{2})^n } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2(n+1)-1}{\sqrt{2}^{n+1}} }{\frac{2n-1}{\sqrt{2}^{n}} } = \frac{2(n+1)-1}{(\sqrt{2})^{n+1} } * \frac{(\sqrt{2})^{n} }{2n-1} = \frac{2n+1}{\sqrt{2}(2n-1)} \end{eqnarray*}$

jetzt komm ich irgendwie nicht weiter verwirrt

am Ende müsste ich ja dann gucken ob es kleiner/größer oder gleich 1 ist, kann man das so schon vom Bruch ablesen? Und stimmt der Ansatz mit dem Quotientenkriterium?

Gruß

22.05.2012, 19:48

Zizou66

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Du könntest jetzt weiter machen und dann abhängig von n auch Aussagen mit dem Quotientenkriterium treffen.

Probiere allerdings mal das Wurzelkriterium aus, vielleicht ist das ja doch leichter...

22.05.2012, 20:09

HAL 9000

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RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von matheesel
Dann prüfen auf Monotonie:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n} = \frac{2n+2}{n²+3n+2} - \frac{2n+1}{n²+n} \end{eqnarray*}$

Ist das so schon mal korrekt?

Vom Prinzip her ja, das Einsetzen aber nicht - wieder mal wurden wichtige Klammern vergessen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_{n} = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)(n+2)} - \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ .

22.05.2012, 20:24

matheesel

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Mit Wurzelkriterium bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{2n-1} }{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

und wegen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

folgt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{2n-1} }{\sqrt{2} } = \frac{1}{\sqrt{2} } \leq 1 \end{eqnarray*}$

Also konvergiert die Reihe absolut?

Gruß

22.05.2012, 20:30

matheesel

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Oh sry HAL hab meinen Post verfasst während du geschrieben hast Big Laugh