Dimensionsfrage

22.05.2012, 00:10	NemesisFS	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsfrage Hi, ich komme grade bei einer Aufgabe nicht weiter, sitze schon ne ganze Weile dran, aber komme einfach nicht drauf... Die Aufgabenstellung ist folgende: Seien $\begin{eqnarray} U, V, W \end{eqnarray}$ endlich erzeugte Vektorräume, $\begin{eqnarray} f : V \rightarrow U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g : U \rightarrow W \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} dim(Im(f \circ g)) \le min(dim(Im(f)), dim(Im(g))) \end{eqnarray}$ Hoffe ihr könnt mir weiter helfen =)
22.05.2012, 07:40	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche die Behauptung "aufzusplitten", also in kleinere unabhängige Teile zu zerlegen, was den Beweis einfacher oder zumindest übersichtlicher macht. Gerade das Minimum lässt sich praktisch aufteilen: Wie kann man in zwei Schritten zeigen, dass a kleiner als das Minimum von b und c ist? Der Beweis ist kurz, wenn man etwas über die Dimension von Bildern linearer Abbildungen weiß (ich gehe mal davon aus, dass f und g linear sein sollen).
22.05.2012, 10:16	NemesisFS	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit aufspliiten meinst du, getrennt für beide Abbildungen zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} dim(Im(f)) \le dim(U) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim(Im(g)) \le dim(W) \end{eqnarray}$ ? Man weiß ja, dass das Bild kleiner gleich dem Definitionsbereich sein muss, aber wie ich damit weiterkomme weiß ich leider noch nicht. EDIT(Helferlein): Latex korrigiert
22.05.2012, 10:39	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Anmerkung: Es sollte $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ sein, denn $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ ist nicht definiert.
22.05.2012, 12:08	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte das etwas anders (vielleicht zu offensichtlich): Sei die Behauptung $\begin{eqnarray} x \leq \min\{a,b\} \end{eqnarray}$ . Das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} x \leq a \quad \wedge \quad x \leq b \end{eqnarray}$ . Damit hat man das min aus dem Weg geräumt und man kann die beiden Teilbehauptungen getrennt beweisen. Übersetzt man das nun in obige Aufgabenstellung, so muss man eine Aussage über die Dimension der linearen Abbildung gof (danke juffo-wup, hatte ich auch übersehen ) machen. Fang dazu doch einmal etwas elementarer an: Was weißt du alles über die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung? Danach kann man sich Gedanken über die Verkettung solcher machen.
23.05.2012, 20:26	NemesisFS	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich denke ich habe nun eine Lösung: Man schränkt die Funktion g auf Im(f) als Definitionsbereich und sieht, dass die Verkettung mit dieser neuen Funktion kleiner als die einzelnen Bilder sein muss, woraus die Behauptung dann folgt, oder?
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23.05.2012, 20:57	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke du meinst das richtige. Der Knackpunkt ist eben der, dass man mit linearen Abbildungen keine Dimensionen dazugewinnen kann. Um ganz sauber zu argumentieren, würde ich getrennt die beiden Dinge zeigen, also, dass dim(im(gof)) <= dim(im(f)) und dim(im(gof)) <= dim(im(g)) gilt. "dass die Verkettung mit dieser neuen Funktion kleiner/gleich als die einzelnen Bilder sein muss"

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