Konvergenz Potenzreihen

22.05.2012, 10:48

Gast63

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Konvergenz Potenzreihen

Hi,

habe keine Idee wie man diese Aufgabe löst.

Aufgabe:
Für welche Werte von $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert folgende Potenzreihe ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}x+\frac{1}{2*3}x^2+\frac{1}{3*4}x^3+... \end{eqnarray*}$

Idee:

Habe keine unglücklich

unglücklich

Ich würde raten das x<2 sein muss, weil a1 meistens 1 ist.

22.05.2012, 11:24

Mystic

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RE: Kovergenz Potenzreihen
Heißer Tipp:

Die Reihe mit x multiplizieren, dann zweimal gliedweise differenzieren... Die so entstandene Reihe sollte dir einen Hinweis auf den Konvergenzbereich geben... Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.05.2012, 13:12

Totto-GE

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RE: Kovergenz Potenzreihen
$\begin{eqnarray*} a_n = \dfrac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ wäre IMHO prima Anwendung für das Quot.Kriterium ... (alternativer Tipp)

22.05.2012, 16:17

Gast63

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@Mystic

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1*2}x^2+\frac{1}{2*3}x^3+\frac{1}{3*4}x^4+\frac{1}{4*5}x^5+\frac{1}{5*6}x^6+\frac{1}{6*7}x^7+\frac{1}{7*8}x^8+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)'=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{7}x^7+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)''=0+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+... \end{eqnarray*}$

So und jetzt ?

Zweite Ableitung läuft Richtung unendlich.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

@Totto-GE

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n= \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} x^n \end{eqnarray*}$

Was macht man mit dem $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ?

Ich habs einfach mal weg gelassen

Quot.Kriterium

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}} |=\frac{1}{n(n+1)}*\frac{(n+1)*(n+2)}{1}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{2}{n}) }{n(1)}=1 \end{eqnarray*}$

Keine Aussage möglich oder ? verwirrt

verwirrt

22.05.2012, 16:25

Mystic

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Zitat:

Original von Gast63
$\begin{eqnarray*} f(x)''=0+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+... \end{eqnarray*}$

So und jetzt ?

Zweite Ableitung läuft Richtung unendlich.

Hm, ist das jetzt ein Scherz oder meinst das im Ernst? geschockt

geschockt

Du würdest also sagen, dass für z.B. x=1/2 die Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac 12 +\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+... \end{eqnarray*}$

gegen unendlich geht, obwohl doch alle Partialsummen offensichtlich < 1 sind? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Btw, hast du eigentlich schon mal was von einer geometrischen Reihe gehört? verwirrt

verwirrt

22.05.2012, 17:50

Gast63

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@Mystic

Um das zu verstehn muss ich einfach nochmal fragen.

Woran sieht man dass alle Partialsummen "offensichtlich" < 1 sind ?

und warum leiten wir 2 mal ab ?

Hab mir das mit der Geo. Reihe nochmal angeschaut.

$\begin{eqnarray*} q=\frac{a{n+1}}{an}=\frac{x^2}{x}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{\infty} =a_1*\frac{1-q^{\infty}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Aber kann damit nicht sagen ob die Partialsumme <1 ist. geschockt

geschockt

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22.05.2012, 21:07

Gast63

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Wär cool wenn mir das jemand erklären könnte Idee!

Idee!

Woran sieht man dass alle Partialsummen "offensichtlich" < 1 sind ?

22.05.2012, 21:32

Mystic

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Zitat:

Original von Gast63
Woran sieht man dass alle Partialsummen "offensichtlich" < 1 sind ?

Ok, schauen wir uns die Partialsummen doch mal an:

$\begin{eqnarray*} s_1=\frac 12 \Rightarrow 1-s_1=\frac 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2=\frac 12 +\frac 14 \Rightarrow 1-s_2=\frac 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3=\frac 12 +\frac 14+\frac 18 \Rightarrow 1-s_1=\frac 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Wie man sieht fehlt auf 1 immer das, was zuletzt addiert wurde... Mit anderen Worten, die Partialsummen bleiben immer unterhalb von 1 (ihr Grenzwert ist allerdings 1, aber das ist dann wieder was anderes!)...

Ja, und warum habe ich empfohlen die Ausgangsreihe (nach vorheriger Multiplikation mit x) zweimal zu differnzieren? Ganz einfach, weil sich dadurch der Konvergenzradius nicht ändert, aber die Reihe dadurch erheblich einfacher geworden ist... Was sich allerdings sehr wohl ändern kann (und hier trifft das ja auch zu) ist das Konvergenzverhalten der Reihe am Rande des Konvergenzbereiches...

Alle Klarheiten beseitigt? Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.05.2012, 04:00

Totto-GE

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@Gast63

Falls man sich nur das Quot.Krit. für Zahlenreihen merken kann, betrachtet man das anhängige $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ als Bestandteil der $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , das sieht dann so aus ...

$\begin{eqnarray*} \left| \dfrac{a_{n+1}~x^{n+1}}{a_n ~x^n}\right| = \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| |x| \leq 1 \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist das ... $\begin{eqnarray*} \iff \dfrac{n}{n+2}~|x|\leq 1 \end{eqnarray*}$

Für den Grenzfall $\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$ ist dein $\begin{eqnarray*} a_n~ |x|^n\leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und
darüber könnte man mal was gehört haben ?

24.05.2012, 09:24

Gast63

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@Mystic

Habe die Erklärung verstanden nur nicht wo das herkommt:

$\begin{eqnarray*} s_1=\frac 12 \Rightarrow 1-s_1=\frac 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2=\frac 12 +\frac 14 \Rightarrow 1-s_2=\frac 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3=\frac 12 +\frac 14+\frac 18 \Rightarrow 1-s_1=\frac 18 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das hier einsetze bekomme ich zwar beim ersten noch 0,5 herraus (wenn ich das bei f(x) einsetze) beim zweiten aber keine 0,25 sondern 1/3 unglücklich

unglücklich

(habe für x eins eingesetzt)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1*2}x^2+\frac{1}{2*3}x^3+\frac{1}{3*4}x^4+\frac{1}{4*5}x^5+\frac{1}{5*6}x^6+\frac{1}{6*7}x^7+\frac{1}{7*8}x^8+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)'=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{7}x^7+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)''=0+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+... \end{eqnarray*}$

@Totto-GE

Konvergenztadius $\begin{eqnarray*} r = |1| \end{eqnarray*}$

Randpunkte $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Fall1:

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}(-1)+\frac{1}{2*3}(-1)^2+\frac{1}{3*4}(-1)^3+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}-\frac{1}{3*4}+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+n}\Rightarrow 0 ??? \end{eqnarray*}$

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(1)^n}{n^2+n}\Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

24.05.2012, 10:31

Mystic

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Zitat:

Original von Gast63
@Mystic

Habe die Erklärung verstanden nur nicht wo das herkommt:

$\begin{eqnarray*} s_1=\frac 12 \Rightarrow 1-s_1=\frac 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2=\frac 12 +\frac 14 \Rightarrow 1-s_2=\frac 14 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_3=\frac 12 +\frac 14+\frac 18 \Rightarrow 1-s_1=\frac 18 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das hier einsetze bekomme ich zwar beim ersten noch 0,5 herraus (wenn ich das bei f(x) einsetze) beim zweiten aber keine 0,25 sondern 1/3 unglücklich

unglücklich

(habe für x eins eingesetzt)

Hm, es ging doch die ganze Zeit um die Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac 12+\frac 14+\frac 18+\frac 1{16}+\ldots \end{eqnarray*}$

ud dass deren Partialsummen alle < 1 sind, oder hab ich/hast du da was mißverstanden? Jedenfalls bezogen sich meine diesbezügliche Bemerkung und auch alle Ausführungen oben auf diese Reihe und keine andere...

24.05.2012, 16:05

Totto-GE

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KonvRadius ist in der Tat $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ . Entwicklungspunkt ist $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Die Ränder des möglichen Konv.Intervalles $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ erschlage ich mit $\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$ , d.h. falls die Reihe für $\begin{eqnarray*} x=|x|=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann tut sie es ebenfalls für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ... Hintergrund ist die 3-Ecksunglg. - NUR wenn Div. bei $\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$ vorliegt, ist eine gesonderte Untersuchung für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ notwendig, womit dein 'Fall 1' überflüssig ist.

Vom MajorantenKriterium bzw. dem Konv.Verhalten von $\begin{eqnarray*} \sum\,\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ hast du bislang nix gehört. Dann ist der obige Tipp allerdings wertlos und ich bin raus.

24.05.2012, 17:57

Gast63

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@Totto-GE

Doch vom Majorantenkriterium hab ich schon gehört.

@Mystic

Ist das jetzt nur ein Beispiel und hat gar nichts mit der Aufgabe zu tun ?

$\begin{eqnarray*} \frac 12+\frac 14+\frac 18+\frac 1{16}+\ldots \end{eqnarray*}$

@All

Aber ich verlier hier so langsam aber sicher die Übersicht /Überblick würde gerne nochmal neu aufmachen !

24.05.2012, 18:05

Mystic

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Zitat:

Original von Gast63
@Mystic

Ist das jetzt nur ein Beispiel und hat gar nichts mit der Aufgabe zu tun ?

$\begin{eqnarray*} \frac 12+\frac 14+\frac 18+\frac 1{16}+\ldots \end{eqnarray*}$

Irgendwie bin ich es langsam leid, dauernd hier auf Fragen eingehen zu müssen, deren Antworten sich von selbst ergeben, wenn man nur meine zugehörigen Postings wirklich lesen würde... geschockt

geschockt

Ja, es ist nur ein Beispiel, wie ich ja oben auch klar und deutlich geschrieben habe:

Zitat:

Original von Mystic
Du würdest also sagen, dass für z.B. x=1/2 die Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac 12 +\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+... \end{eqnarray*}$

gegen unendlich geht, obwohl doch alle Partialsummen offensichtlich < 1 sind? Forum Kloppe

Forum Kloppe

24.05.2012, 18:21

Gast63

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von Gast63
$\begin{eqnarray*} f(x)''=0+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+... \end{eqnarray*}$

So und jetzt ?

Zweite Ableitung läuft Richtung unendlich.

Hm, ist das jetzt ein Scherz oder meinst das im Ernst? geschockt

geschockt

Du würdest also sagen, dass für z.B. x=1/2 die Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac 12 +\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+... \end{eqnarray*}$

gegen unendlich geht, obwohl doch alle Partialsummen offensichtlich < 1 sind? Forum Kloppe

Forum Kloppe

Btw, hast du eigentlich schon mal was von einer geometrischen Reihe gehört? verwirrt

verwirrt

Wenn, das alles nur ein Beispiel sein soll woher weiß ich wie groß x sein muss ?

Muss man da jetzt plus minus unendlich einsetzen und schauen wie sich die Reihe verhält ?

Bis jetzt haben wir nur die Reihe vereinfacht.

24.05.2012, 18:37

Mystic

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Noch einmal (und das steht auch schon alles oben): Diese "vereinfachte" Reihe

$\begin{eqnarray*} f''(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+... \end{eqnarray*}$

hat nach Sätzen der Analysis den gleichen Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe... Da es sich dabei aber um eine geometrische Reihe mit Quotienten x handelt, ist dieser sehr leicht bestimmbar, nämlich zu r=1... Einzig das Verhalten am "Rand", also für x=1 bzw. x=-1 könnte sich geändert haben, was hier auch zutrifft...

Aber ich wiederhole nur die ganze Zeit Dinge, die ich eh schon hier gesagt habe... unglücklich

unglücklich

24.05.2012, 21:41

Gast63

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Hast du den Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium berechnet ?

$\begin{eqnarray*} f''(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+... \end{eqnarray*}$

Kann man hier ja im Kopf rechnen.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

So jetzt aber zum Konvergenzverhalten erstmal ohne die beiden Randpunkte |x|=r:

Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe,wenn sie die Bedingung

$\begin{eqnarray*} |x|<\frac{1}{\lim_{n \to \infty}| \frac{a_{n+1}}{an}| }=\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=r <br /> \end{eqnarray*}$

erfüllt.

(noch eine Frage am Rande der Grenzwert ist doch identisch mit dem Konvergenzradius oder ?)

Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$

Konvergiert $\begin{eqnarray*} |x|<r \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} |x|>r \end{eqnarray*}$

r eingesetzt:

Konvergiert $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$

Um das genauer zu sagen müsste man noch die Randpunkte untersuchen oder ?

Mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}x+\frac{1}{2*3}x^2+\frac{1}{3*4}x^3+... \end{eqnarray*}$

Da sich das Verhalten am "Rand " verändert haben könnte wie du gesagt hast.

24.05.2012, 22:31

Mystic

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Für die unendlich geometrische Reihe das Quotientenkriterium zu verwenden wäre jetzt fast sowas wie ein circulus vitiosus, da ja im Beweis des Quotientenkriterium gerade vorausgesetzt wird, dass man den Konvergenzbereich von

$\begin{eqnarray*} 1+q+q^2+q^3+\ldots \end{eqnarray*}$

kennt, nämlich |q|<1... Der Konvergenzradius der Reihe für f''(x) ist daher ohne weitere Nachprüfung 1, sonst würde sich der eingeschlagene Weg ja gar nicht lohnen...

Und ja, die geometrische Reihe für f''(x) ist natürlich am Rand, d.h., für x=1 und x=-1, nicht konvergent, die ursprüngliche aber schon, wie man mithilfe des sog. Teleskoptricks sofort sieht...

25.05.2012, 08:29

Gast63

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Teleskoptrick ist doch nichts anderes als Partialbruchzerlegung oder ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}x+\frac{1}{2*3}x^2+\frac{1}{3*4}x^3+... \end{eqnarray*}$

Muss man hier auch die Nullstellen berechnen ?

Kann man das auch mit dem MajorantenKriterium untersuchen ?

25.05.2012, 08:38

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast63
Der Teleskoptrick ist doch nichts anderes als Partialbruchzerlegung oder ?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}x+\frac{1}{2*3}x^2+\frac{1}{3*4}x^3+... \end{eqnarray*}$

Ja, aber vorher musst du mal x=1 einsetzen... Wenn die Reihe für x=1 konvergiert, dann natürlich für x=-1 erst recht, da sie ja dann absolut konvergent ist...

Zitat:

Original von Gast63

Muss man hier auch die Nullstellen berechnen ?

Keine Ahnung, wie du auf sowas hier kommst... geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Gast63
Kann man das auch mit dem MajorantenKriterium untersuchen ?

Kann man sicher, nur warum sollte man das tun, wenn's einfacher auch geht?... verwirrt

verwirrt

25.05.2012, 08:54

Gast63

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil wir den Teleskoptrick noch nicht hatten und in meinem Buch hab ich über den auch nichts gefunden.

Aber hier machen die das irgendwie anders

matheplanet.com/matheplanet/nuke/html//viewtopic.php?rd2&topic=44575&start=0#p333073

Also ich steh gerade auf dem Schlauch.

Habe jetzt erstmal x=1 eingesetzt.

x=1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+... \end{eqnarray*}$

25.05.2012, 09:15

Mystic

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Zitat:

Original von Gast63
Weil wir den Teleskoptrick noch nicht hatten und in meinem Buch hab ich über den auch nichts gefunden.

Das ist diese Umformung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+... =(1-\frac 12)+(\frac 12-\frac 13)+(\frac 13-\frac 14)+\ldots \end{eqnarray*}$

Und nun lass das Teleskop "einfahren"... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.05.2012, 09:26

Gast63

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}= (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ ...=1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} )+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} )+ ...=1+\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

So muss jetzt aber erstmal weg.

25.05.2012, 09:53

Mystic

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Au weia... Ich kann mir gut vorstellen, dass du mit deiner Schludrigkeit deine Lehrer in der Schule zur Verzweiflung treibst... Jedenfalls sind in deiner einzeiligen Herleitung gleich zwei schwere Fehler... unglücklich

unglücklich

Welche? Versuch das mal selbst herauszufinden... Big Laugh

Big Laugh

25.05.2012, 19:51

Totto-GE

Auf diesen Beitrag antworten »

Prost

Au weia... zwei schwere Fehler...

Ich sehe mind. 5 ... geschockt

geschockt

Index / Sum verg. / n im Nenner verg. / unendl. Summe $\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$ statt endl. / Teleskop falsch ausgewertet (nach + kommt -) Wink

Wink

wobei man ihm anrechnen muss, dass $\begin{eqnarray*} \{~\} \end{eqnarray*}$ bei den Tex-fracs verwendet wurden und das alles innerhalb 10 Min. ... Big Laugh

Big Laugh

26.05.2012, 18:38

Gast63

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n*(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}= (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ ...=1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} )+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} )+ ...=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

26.05.2012, 23:01

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast63
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1-n}{n*(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}= (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ ...=1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} )+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} )+ ...=1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ein Fortschritt ist unverkennbar, denn jetzt sind es nur mehr 3 Fehler... Big Laugh

Big Laugh

1. Fehlendes Summenzeichen vor 2. Ausdruck
2. Fehlendes Summenzeichen vor 3. Ausdruck
3. Endergebnis ist 1 statt $\begin{eqnarray*} 1 -\frac 1{n+1} \end{eqnarray*}$

26.05.2012, 23:18

Gast63

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+1-n}{n*(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}= (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ ...=1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} )+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} )+ ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1-\frac{1}{n+1}=1-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$

Läuft gegen 1 also konvergent ?

Edit Equester: Überlänge korrigiert.

26.05.2012, 23:36

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gast63
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n+1-n}{n*(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}= (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+ ...=1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} )+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} )+ ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1-\frac{1}{n+1}=1-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=1 \end{eqnarray*}$
Läuft gegen 1 also konvergent ?

Ja, ist konvergent gegen 1.. Und das hier genügt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1-n}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty (\frac1n-\frac1{n+1})= (\frac11-\frac12)+(\frac12-\frac13)+(\frac13-\frac14)+ ...=1+(-\frac12+\frac12 )+(-\frac13+\frac13 )+ ...=1 \end{eqnarray*}$

Edit Equester: Überlänge korrigiert.

27.05.2012, 11:36

Gast63

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch ein paar Fragen.

1)Beim Teleskoptrick haben wir für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Ist das unser r ?

2)Wann kann man den Teleskoptrick anwenden und wann nicht ?

3)Würdest du die Aufgabe auch nochmal ohne Teleskoptrick mit mir durch gehen ?

(Wenn nicht kann ich das sehr gut verstehen Big Laugh

Big Laugh

)

27.05.2012, 11:59

Mystic

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ad 1) Ja.
ad 2) Wenn sich nach der Partialbruchzerlegung des Summenterms die Summe zweier benachbarter Terme in der hier gezeigten Weise vereinfacht...
ad 3) Nein, sorry, sehe nicht ein, was daran so schwer sein soll, dass man es unbedingt umgehen will... unglücklich

unglücklich

27.05.2012, 12:46

Gast63

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Vielen Dank für Deine Geduld und Hilfe Freude

Freude

Freude

Freude

zu 3) dann mach ich nochmal neu auf (ich nehms dir nicht übel Big Laugh

Big Laugh

)

1

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