Mehrdimensionales Ableiten |
| 22.05.2012, 13:29 | isbowhten | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Mehrdimensionales Ableiten also ich habe hier eine aufgabe... wir haben erst mit mehrdimensionaler analysis angefangen und hatten noch keinerlei beispiele. und dann gleich so eine aufgabe: L sei n-linear von (R^k)^n nach R^m(. berechnen sie DL (das differential von L) sprich eine abbildung, die n vektoren der dimension k abbildet mittels m teilfunktionen, in den R^m. um diese aufgabe verstehen zu können dachte ich mir ich rechne mal ein einfaches beispiel. meine frage ist nun (da ich das nicht schaff): das differential einer 2x2 - determinante, aufgefasst als abbildung von 2 spaltenvektoren der dimension 2 nach R. also f ( {a,b},{c,d} ) = ad-bc; wie leite ich das ab? ich fasse dies absichtlich als abbildung aus dem urbildbereich (R^k)^n und nicht R^(k * n), also ich habe in meinem beispiel nicht 4 skalare argumente (dann ist das ja einfach), sondern 2 vektorwertige argumente. ich kann ja schlecht nach einem vektor ableiten ??? geht das? Meine Ideen: was ich versucht habe: 1. {a,b} ausdrücken als {a,x*a} und bei {c,d} analog mit y. => bild: a cy - c ax und ableitung nach x und y ist dann {ac,-ac}. problem: habe funktion nun wiederum als skalarwertige funktion aufgefasst, also als funktion von R^2 nach R. die dimension der jacobi-matrix (das differential/funktionalmatrix) dim = 1 x 2 2. die funktion doch als skalarwertige funktion aufgefasst, also von R^4 nach R.(f(a,b,c,d)=ad-bc) differential: {d,-c,-b,a}. die dimension des differentilas wäre dann dim = 1 x 4 3. differential aufgefasst als "3D-matrix". ich hab gelesen, dass das sowas ist wie ein tensor? wir haben sowas noch nicht gemacht. (wir haben lediglich die definition des differentials, des gradienten, und sätze über differenzierbarkeit bzw. stetigkeit, die sind aber hier nicht von nöten, partielle ableitungen/richtungsableitungen). hierzu leite ich erst nach a ab und dann nach b, die beiden ergebnisse schreib ich als vektor: {d,-c}, danach leite ich nach c und d ab: {-b,a}. das differential hat dann die form {{d,-c},{-b,a}} wobei die "vektoren" in der matrix keine spaltenvektoren sind, sondern die matrix hat die dimension dim = 1 x 1 x 2. (1 x 1 als normale matrix + 2 in die "tiefe") wie macht man sowas denn nun richtig? man beachte, dass jenachdem wie ich die funktion auffasse, nicht nur die ergebnisse, sondern auch die dimensionen der funktionalmatrix völlig verschieden ist. was muss ich machen? |
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